[论文解读] Longtime existence of the Kähler-Ricci flow on $\Bbb C ^n$

Albert Chau, Ka-Fai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{C}^n$ 上，对于具有非负全纯双截面曲率的完备 $U(n)$-不变 Kähler 度量，即使在无有界曲率假设下，Kähler-Ricci 流的长期存在性与收敛性。证明表明，此类解可存在所有时间，始终保持与初始度量一致等价，并在缩放后收敛至标准欧几里得度量，将先前结果推广至无界曲率情形。

ABSTRACT

We produce longtime solutions to the Kähler-Ricci flow for complete Kähler metrics on $\Bbb C ^n$ without assuming the initial metric has bounded curvature, thus extending results in [3]. We prove the existence of a longtime bounded curvature solution emerging from any complete $U(n)$-invariant Kähler metric with non-negative holomorphic bisectional curvature, and that the solution converges as $t o \infty$ to the standard Euclidean metric after rescaling. We also prove longtime existence results for more general Kähler metrics on $\Bbb C ^n$ which are not necessarily $U(n)$-invariant.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{C}^n$ 上，为具有非负全纯双截面曲率的完备 $U(n)$-不变 Kähler 度量建立 Kähler-Ricci 流的长期存在性。
• 证明流解始终保持与初始度量一致等价，并具有有界非负双截面曲率。
• 证明当 $t \to \infty$ 时，解在适当缩放后收敛至标准欧几里得度量。
• 将结果从 $U(n)$-不变度量推广至更一般的 Kähler 度量，这些度量与具有非负双截面曲率的 $U(n)$-不变度量一致等价，并具有最大体积增长。
• 在无曲率有界性假设下，解决解的唯一性与长期行为问题，推广 Shi 等人先前的结果。

提出的方法

• 作者利用度量的 $U(n)$-不变性，通过度量表示 $g_{i\bar{j}} = f_\xi(r)\delta_{ij} + f_\xi'(r)\bar{z}_i z_j$，将 Kähler-Ricci 流约化为关于径向函数 $\xi(r)$ 的演化方程，其中 $r = |z|^2$。
• 他们利用 Wu-Zheng 和 Yang 的公式分析曲率分量，将全纯双截面曲率表示为 $\xi'$、$h_\xi$ 和 $f_\xi$ 的函数，并建立非负性的条件。
• 证明依赖于最大体积增长条件以及完备 $U(n)$-不变度量具有非负双截面曲率时满足 $\int_0^\infty \frac{\sqrt{h_\xi(s)}}{\sqrt{s}} ds = \infty$ 的事实，从而确保完备性。
• 作者应用先验估计与曲率衰减控制，利用 Shi 与 Cabezas-Rivas–Wilking 的结果，控制曲率增长并确保长时间存在性。
• 他们通过等价初始度量之间的比较论证，证明若 $g_0$ 与 $G_0$ 等价且具有非负双截面曲率，则其流解在所有时间保持一致等价。
• 通过缩放证明收敛至欧几里得度量：当 $t \to \infty$ 时，$\frac{1}{|V|_t^2}g(t)$ 在紧集上光滑且一致收敛至标准度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在初始度量具有无界曲率的情况下，证明在 $\mathbb{C}^n$ 上，对于具有非负全纯双截面曲率的完备 $U(n)$-不变 Kähler 度量，Kähler-Ricci 流可存在所有时间？
• RQ2 流解是否始终保持与初始度量一致等价，并在时间上保持非负双截面曲率？
• RQ3 当 $t \to \infty$ 时，流解在适当缩放后是否收敛至标准欧几里得度量？
• RQ4 能否将长期存在性与收敛性结果推广至与具有非负双截面曲率的 $U(n)$-不变度量一致等价且具有最大体积增长的非 $U(n)$-不变 Kähler 度量？
• RQ5 在无曲率有界性假设下，解在与初始度量一致等价的解类中是否唯一？

主要发现

• 对于任意具有非负全纯双截面曲率的完备 $U(n)$-不变 Kähler 度量，即使无有界曲率，Kähler-Ricci 流在 $\mathbb{C}^n$ 上均存在光滑的长期 $U(n)$-不变解。
• 解在所有时间始终保持与初始度量一致等价，并具有有界非负双截面曲率。
• 在 $t \to \infty$ 时，解在原点处经缩放后，光滑且一致地在紧子集上收敛至 $\mathbb{C}^n$ 上的标准欧几里得度量。
• 对于与具有非负双截面曲率及最大体积增长的 $U(n)$-不变度量一致等价的更一般 Kähler 度量，流仍存在唯一长期解且曲率有界。
• 在满足所述条件的解类 $\mathcal{S}(g_0)$（即与初始度量 $g_0$ 一致等价的解类）中，解是唯一的。
• 曲率衰减估计 $t \cdot \mathcal{R}(x,t) \leq c_1$ 对所有 $t > 0$ 一致成立，这是比较论证与长时间控制的关键。