[论文解读] Lorentzian quantum cosmology in novel Gauss-Bonnet gravity from Picard-Lefschetz methods

Gaurav Narain, Hai-Qing Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文通過Picard-Lefschetz理論，在不使用Wick旋转的情況下，直接在洛侖茲 signature 中計算了新式高斯-博內引力中洛侖茲量子宇宙學的躍遷振幅。透過在D維空間中構建一個迷你超空間作用量，並透過分部積分取D→4的光滑極限，作者推導出一個具有有限高斯-博內耦合的非平凡4維作用量。主要結果是在高斯-博內耦合的一階下，躍遷振幅出現了非微擾性的修正，其來源為複數鞍點與路徑積分中的拓撲貢獻。

ABSTRACT

In this paper we study some aspects of classical and quantum cosmology in the novel-Gauss-Bonnet (nGB) gravity in four space-time dimensions. Starting with a generalised Friedmann-Lemaître-Robertson Walker (FLRW) metric respecting homogeneity and isotropicity in arbitrary space-time dimension $D$, we find the action of theory in four spacetime dimension where the limit $D o4$ is smoothly obtained after an integration by parts. The peculiar rescaling of Gauss-Bonnet coupling by factor of $D-4$ results in a non-trivial contribution to the action. We study the system of equation of motion to first order nGB coupling. We then go on to compute the transition probability from one $3$-geometry to another directly in Lorentzian signature. We make use of combination of WKB approximation and Picard-Lefschetz (PL) theory to achieve our aim. PL theory allows to analyse the path-integral directly in Lorentzian signature without doing Wick rotation. Due to complication caused by non-linear nature of action, we compute the transition amplitude to first order in nGB coupling. We find non-trivial correction coming from the nGB coupling to the transition amplitude, even if the analysis was done perturbatively. We use this result to investigate the case of classical boundary conditions.

研究动机与目标

• 探討一種新形式的高斯-博內引力中的量子宇宙學，其特點是允許有限的D→4極限。
• 直接在洛侖茲 signature 中計算不同3幾何之間的躍遷振幅，避免Wick旋轉帶來的模糊性。
• 利用迷你超空間近似與Picard-Lefschetz理論，研究高斯-博內項在量子引力中的作用。
• 確定儘管採用微擾處理，4維空間中高斯-博內耦合是否會產生非平凡的量子修正。

提出的方法

• 在D個時空維度中構建一個時間依賴的度規因子與時間依賴的規範函數的廣義弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規。
• 透過分部積分推導新式高斯-博內引力的迷你超空間作用量，確保在不使用卡魯扎-克萊因降維的情況下，D→4極限明確。
• 應用Picard-Lefschetz方法直接分析洛侖茲路徑積分，識別相關的複數鞍點。
• 使用WKB近似在高斯-博內耦合α的一階下評估路徑積分。
• 透過在對應於不同經典解的鞍點處計算作用量與Hessian矩陣，計算躍遷振幅。
• 從複數鞍點處作用量的實部與虛部中提取量子修正，包括對數與反 tangent 項。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用卡魯扎-克萊因降維的情況下，從新式高斯-博內引力中推導出有限且非平凡的4維作用量？
• RQ2 Picard-Lefschetz方法是否能實現無需Wick旋轉的洛侖茲躍遷振幅的一致計算？
• RQ3 在新式高斯-博內引力中，躍遷振幅的量子修正結構在α的一階下是什麼樣子？
• RQ4 經典邊界條件如何影響此框架下量子躍遷振幅？
• RQ5 複數鞍點與拓撲項（例如反 tangent 貢獻）在最終振幅中扮演何種角色？

主要发现

• 在分部積分後，新式高斯-博內作用量的D→4極限明確，得到一個不引入額外標量自由度的有限4維理論。
• 即使在高斯-博內耦合α的一階下，躍遷振幅仍出現非平凡的量子修正，表明路徑積分中存在非微擾效應。
• 躍遷振幅包含涉及π²/4ℏΛ以及尺度因子參數u與v的反正切函數的複指數項。
• 在兩個相關複數解（記為□與○）處的鞍點貢獻產生了不同的表達式，包含u與v的有理式、多項式與對數項。
• 振幅的一階修正包含與tan⁻¹(u)與tan⁻¹(v)成比例的項，以及(u±v)的有理函數，顯示對邊界3幾何參數的非平凡依賴。
• 由於兩個具有相反相位因子的鞍點貢獻的疊加，最終振幅表現出類似干涉及的行為，暗示躍遷過程中的量子相干性。