[论文解读] Low Mach number limit of some staggered schemes for compressible barotropic flows

Raphaèle Herbin, J.‐C. Latché+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 60被引用 9

一句话总结

该论文严格证明了三种交错有限体积格式——全隐式时间格式及两种非迭代压力校正方法——在马赫数 ε → 0 时对可压缩等熵 Navier-Stokes 流动具有渐近保持性。这些格式收敛至不可压缩流的相容离散格式，且在依赖于网格的 CFL 条件下，其稳定性与熵估计均与 ε 无关，从而确保了在所有马赫数范围内的鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper, we study the behaviour at low Mach number of numerical schemes based on staggered discretizations for the barotropic Navier-Stokes equations. Three time discretizations are considered: the implicit-in-time scheme and two non-iterative pressure correction schemes. The last two schemes differ by the discretization of the convection term: linearly implicit for the first one, so the resulting scheme is unconditionnally stable, and explicit for the second one, so the scheme is stable under a CFL condition involving the material velocity only. We rigorously prove that these three variants are asymptotic preserving in the following sense: for a given mesh and a given time step, a sequence of solutions obtained with a sequence of vanishing Mach numbers tend to a solution of a standard scheme for incompressible flows. This convergence result is obtained by mimicking the proof already known in the continuous case.

研究动机与目标

• 解决标准可压缩流格式在低马赫数下因声波刚性导致的数值不稳定与精度损失问题。
• 证明交错有限体积格式在可压缩等熵 Navier-Stokes 方程中，于不可压缩极限（ε → 0）下仍保持有效与一致。
• 证明三种时间格式变体——全隐式时间格式及两种压力校正方法——在 ε 任意取值时均保持稳定性，并收敛至不可压缩解。
• 确保离散熵估计与能量界在所有马赫数范围内一致有效，避免在 ε → 0 时性能退化。
• 为离散情形构建一个严格数学框架，模拟连续低马赫数极限，采用离散函数分析与依赖于网格的稳定性条件。

提出的方法

• 采用 Crouzeix-Raviart 与 Rannacher-Turek 有限元对速度与压力进行交错有限体积离散，确保适当的离散 inf-sup 兼容性。
• 应用三种时间格式：一种全隐式时间格式，以及两种在对流项处理上不同的非迭代压力校正方法——线性隐式与全显式。
• 推导离散能量估计，并证明在时间步长受 hT^(1+d/2) 影响的限制下，总离散能量相对于 ε 均匀有界。
• 建立一个对所有 ε 均成立的离散熵不等式（7.15），其成立依赖于一种修正的 CFL 条件，该条件考虑了网格正则性与初始数据有界性。
• 利用逆不等式与网格正则性度量（θT）将速度与密度的 L∞ 范数以 L2 范数形式有界，从而实现 ε 独立的估计。
• 基于时间步的归纳法证明：若在时间步 n 时能量与通量界成立，则在满足与 ε 无关的时间步条件时，这些界可传播至时间步 n+1。

实验结果

研究问题

• RQ1 交错有限体积格式在可压缩等熵流中，能否在马赫数 ε → 0 时保持稳定性并收敛至不可压缩解？
• RQ2 离散能量与熵是否在所有马赫数范围内（尤其是低马赫数区域）保持一致有界？
• RQ3 采用显式或线性隐式对流项的非迭代压力校正格式，能否保持渐近保持性质？
• RQ4 稳定性的时间步限制是否与 ε 无关，从而确保在低马赫数极限下的鲁棒性？
• RQ5 离散格式是否能模拟连续低马赫数极限，即可压缩解收敛至不可压缩解？

主要发现

• 三种格式——全隐式时间格式及两种压力校正变体——均具有渐近保持性：当 ε → 0 时，解收敛至一致的离散不可压缩 Navier-Stokes 格式。
• 在 CFL 条件 δt ≤ C(d, θT, C0) hT^(1+d/2) 下，离散全局熵估计（7.15）对所有 ε 均一致成立，且与 ε 无关。
• 时间步限制比经典 CFL 条件更严格，但可确保 ε 独立的稳定性与能量界。
• 能量与熵在所有马赫数范围内保持一致有界，其界仅依赖于初始数据与网格正则性 θT。
• 在所推导的 CFL 条件下，速度的 L2 范数与密度偏离 1 的偏差均实现 ε 独立的控制，确保收敛至不可压缩行为。
• 证明依赖于归纳法与逆不等式，表明若在时间 n 时界成立，则在给定时间步条件约束下，这些界可传播至时间 n+1。