[论文解读] Lower Bounds for Parallel Quantum Counting

Paul Burchard|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文证明并行量子计数在查询复杂度上不优于经典方法，建立了 p-并行近似量子计数的查询复杂度紧下界 Ω(1/ε √(N/pK))。通过将多值函数的对手方法进行推广，并分析并行预言机查询，作者表明即使增加辅助量子比特，也无法通过并行化实现量子加速，这对含噪声中等规模含噪声（NISQ）时代量子算法在蒙特卡洛模拟中的应用具有深远影响。

ABSTRACT

We prove a generalization of the parallel adversary method to multi-valued functions, and apply it to prove that there is no parallel quantum advantage for approximate counting.

研究动机与目标

• 通过证明并行量子算法的下界，填补量子复杂性理论中的空白，特别是针对近似计数问题。
• 将对手方法推广至多值函数，以支持对输出必须落在某一取值范围内的近似量子算法的分析。
• 证明尽管在含噪声中等规模含噪声（NISQ）时代人们寄望于减少电路深度，但并行化在近似计数中无法带来量子优势。
• 为理解在并行执行下蒙特卡洛模拟中量子加速的极限提供形式化基础。

提出的方法

• 通过要求对手矩阵 Γ 在输出集 F(x) 与 F(y) 相交时为零，将量子对手方法推广至多值函数。
• 将 p-并行查询建模为作用于 p 个索引元组的单个串行预言机，从而将并行情形简化为串行对手框架。
• 定义加权内积和 W^t = ∑_{x,y} Γ_xy δ_x δ_y ⟨ψ_x^t|ψ_y^t⟩，以追踪在不同预言机下状态的可区分性。
• 通过使用跟踪查询结果差异的修改后对手矩阵 Γ^{i1⋯ip} 的谱范数，对 |W^t - W^{t+1}| 进行上界估计。
• 利用行与列的稀疏性（h, h', ℓ, ℓ'）对谱范数施加组合界，推导出闭式下界。
• 利用所得下界分析近似计数，通过构造输出汉明权重范围不相交的输入集 X 和 Y，并计算相关组合项。

实验结果

研究问题

• RQ1 并行量子算法能否在近似计数中实现量子优势？
• RQ2 并行化是否受根本性查询复杂度界限的限制？
• RQ3 对手方法能否推广至处理并行设置下的近似多值函数？
• RQ4 当查询并行执行时，量子计数的已知二次加速是否依然成立？
• RQ5 p-并行近似量子计数的查询复杂度的最紧下界是什么？

主要发现

• p-并行近似量子计数的查询复杂度下界为 Ω(1/ε √(N/pK))，与经典并行计数器的性能一致。
• 通过在对手矩阵 Γ 中强制输出集正交，推广的对手方法成功扩展至多值函数。
• 该下界是紧的，因为通过在输入的不同部分上独立运行 p 个量子计数器，可构造出匹配的上界。
• 并行化无法降低电路深度或改善查询复杂度，其性能仅达到经典标度，因此在该设置下量子优势的期望被证伪。
• 该结果意味着在含噪声中等规模含噪声（NISQ）时代，必须采用替代技术（如重要性采样）来减少蒙特卡洛模拟中的电路深度。
• 该分析确认，Brassard-Høyer-Tapp 算法在并行查询访问下仍为渐近最优。