[论文解读] Lower Bounds on the Generalized Central Moments of the Optimal Alignments Score of Random Sequences

Ruoting Gong, Christian Houdré+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文在主要假设成立时，通过一种新颖的随机变换方法，为独立同分布随机序列中最佳对齐得分的广义中心矩和指数矩建立了紧致的渐近下界；当该主要假设不成立时，则采用统一近似方法。关键贡献在于为具有强非对称分布的二元字符串中最长公共子序列（LCS）的长度，推导出非平凡的下界，包括与该率函数相关的局部上界。

ABSTRACT

We present a general approach to the problem of determining tight asymptotic lower bounds for generalized central moments of the optimal alignment score of two independent sequences of i.i.d. random variables. At first, these are obtained under a main assumption for which sufficient conditions are provided. When the main assumption fails, we nevertheless develop a "uniform approximation" method leading to asymptotic lower bounds. Our general results are then applied to the length of the longest common subsequence of binary strings, in which case asymptotic lower bounds are obtained for the moments and the exponential moments of the optimal score. As a byproduct, a local upper bound on the rate function associated with the length of the longest common subsequences of two binary strings is also obtained.

研究动机与目标

• 推导独立同分布随机序列中最佳对齐得分广义中心矩的渐近下界。
• 当通用方法的主要假设不成立时，通过引入“统一近似”技术，解决矩的界问题。
• 将通用框架应用于具有强非对称分布的二元字符串中最长公共子序列（LCS）的特定情形。
• 为二元字符串中LCS得分的矩和指数矩建立非渐近及渐近下界。
• 推导与两个二元字符串LCS相关的率函数的局部上界。

提出的方法

• 提出一种基于随机变换的通用方法，通过改变序列的分布，使对齐得分产生可度量的差异。
• 在满足主要假设的前提下，利用生成函数技术推导广义中心矩的紧致下界。
• 当主要假设不成立时，采用“统一近似”方法，仍可获得渐近下界。
• 通过假设字母概率具有强非对称性（例如，某一字母占主导地位），将该方法应用于二元LCS情形，从而获得显式的矩界。
• 利用矩生成函数不等式和指数矩估计，推导LCS得分指数矩的下界。
• 通过集中与大偏差论证，建立归一化矩比的收敛性，特别关注函数 $ S_n(t) $ 与其与 $ M_q( heta) $ 的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在独立同分布随机序列中，最佳对齐得分广义中心矩的紧致渐近下界是什么？
• RQ2 当通用方法的主要假设不成立时，如何推导此类下界？
• RQ3 在具有强非对称分布的二元字符串中，最长公共子序列（LCS）的矩和指数矩的渐近下界是什么？
• RQ4 能否为两个独立同分布二元字符串LCS相关的率函数推导出局部上界？
• RQ5 在何种条件下，随机变换方法能为对齐得分分布产生非平凡下界？

主要发现

• 在具有强非对称分布的二元LCS情形下，本文证明了当 $ n o ty $ 时，$ rac{S_n^{(3)}(t)}{S_n(t)} o 1 $，意味着中心化LCS得分的指数矩下界为 $ (1- heta) M_q( heta)^{2n} $（当 $ t $ 较小时）。
• 在适当条件下，对所有 $ n o ty $，指数矩 $ b{E}ig[e^{t(L_n - b{E}[L_n])}ig] $ 被证明下界为 $ (1- heta) M_q( heta)^{2n} $。
• 作为分析的副产品，推导出与两个二元字符串LCS相关的率函数的局部上界。
• 在字母概率强非对称性的假设下，该方法为LCS得分的方差和高阶矩提供了非平凡下界。
• 当非对称性条件（假设6.1）成立且间隙惩罚 $ heta $ 足够小时，结果可推广至LCS以外的更一般评分方案。
• 当字母表大小 $ |b{A}| > 2 $ 时，若使用广义主定理版本，该框架依然适用，并且通过适当缩放变换中的常数 $ A $，结果保持有效。