[论文解读] Lower bounds on the number of rounds of the quantum approximate optimization algorithm required for guaranteed approximation ratios

Naphan Benchasattabuse, Andreas Bärtschi+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文建立了组合优化问题中保证常数近似比所需的QAOA回合数的首个理论下界。通过将QAOA与量子退火联系起来，并分析问题哈密顿量与混杂哈密顿量之间对易子的谱范数，证明了对于大多数问题，格罗弗式混杂需要多项式回合数，同时在无结构搜索中恢复了格罗弗下界。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm, also known in its generalization as the quantum alternating operator ansatz, (QAOA) is a heuristic hybrid quantum-classical algorithm for finding high-quality approximate solutions to combinatorial optimization problems, such as maximum satisfiability. While the QAOA is well studied, theoretical results as to its runtime or approximation ratio guarantees are still relatively sparse. We provide some of the first lower bounds for the number of rounds (the dominant component of QAOA runtimes) required for the QAOA. For our main result, we (i) leverage a connection between quantum annealing times and the angles of the QAOA to derive a lower bound on the number of rounds of the QAOA with respect to the guaranteed approximation ratio. We apply and calculate this bound with Grover-style mixing unitaries and (ii) show that this type of QAOA requires at least a polynomial number of rounds to guarantee any constant approximation ratios for most problems. We also (iii) show that the bound depends only on the statistical values of the objective functions, and when the problem can be modeled as a $k$-local Hamiltonian, can be easily estimated from the coefficients of the Hamiltonians. For the conventional transverse-field mixer, (iv) our framework gives a trivial lower bound to all bounded-occurrence local cost problems and for all strictly $k$-local cost Hamiltonians matching known results that constant approximation ratio is obtainable with a constant-round QAOA for a few optimization problems from these classes. Using our proof framework, (v) we recover the Grover lower bound for unstructured search and, with small modification, show that our bound applies to any QAOA-style search protocol that starts in the ground state of the mixing unitaries.

研究动机与目标

• 建立实现优化问题保证常数近似比所需QAOA回合数的严格下界。
• 通过退火时间与QAOA角度之间的关系，将QAOA性能与量子退火动力学联系起来。
• 分析问题哈密顿量与混杂哈密顿量的结构如何共同决定所需最小回合数。
• 证明对于格罗弗式混杂，QAOA在大多数问题上需多项式回合数才能实现任意常数近似比。
• 在将问题表述为从混杂哈密顿量基态出发的QAOA式搜索协议时，恢复无结构搜索的格罗弗下界，并将框架推广至一般QAOA式搜索协议。

提出的方法

• 利用对易子 $[P_0, H_1]$ 的谱范数，推导出QAOA回合数的一般下界，其中 $P_0$ 为初始投影算符，$H_1$ 为问题哈密顿量。
• 通过将非交换哈密顿量 $H_0$ 与 $H_1$ 驱动的单位演化序列建模，将文献[31]中的结果应用于QAOA。
• 以每回合的能量变化作为状态演化代理，通过 $ p riangleq \frac{\left|\braket{P_0}_p - \braket{P_0}_0\right|}{2\pi\|[P_0, H_1]\|} $ 对回合数进行有界。
• 将该框架应用于格罗弗式混杂，其中混杂哈密顿量为横向场，并显式计算对易子范数。
• 证明对于 $k$-局部或严格 $k$-局部哈密顿量，该下界仅依赖于系数的统计特性。
• 将该下界扩展至从混杂哈密顿量基态开始的一般QAOA式搜索协议，包括连续时间量子行走。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的优化问题，保证常数近似比所需的QAOA回合数最小是多少？
• RQ2 问题哈密顿量与混杂哈密顿量之间对易子的谱范数如何影响QAOA回合数的下界？
• RQ3 该框架能否恢复已知下界，例如无结构搜索的格罗弗下界？
• RQ4 为何标准横向场混杂对有界 $k$-局部问题产生平凡下界（即 $p \geq 1$），尽管已知常数回合内可成功？
• RQ5 通过引入角度假设或每回合有效能量变化，该下界能在多大程度上被收紧？

主要发现

• 对于格罗弗式混杂，QAOA在大多数问题上需至少多项式数量的回合才能保证任意常数近似比。
• 当问题被建模为 $k$-局部哈密顿量时，所推导的下界仅依赖于目标函数系数的统计特性。
• 当问题被表述为QAOA式搜索协议时，该框架可恢复无结构搜索的格罗弗下界。
• 对于传统横向场混杂，由于对易子范数较大，该下界对有界 $k$-局部和严格 $k$-局部问题变为平凡（即 $p \geq 1$）。
• 该下界适用于任何从混杂哈密顿量基态开始的QAOA式协议，包括幅度放大和连续时间量子行走。
• 该框架揭示混杂的选择显著影响理论回合复杂度，表明混杂设计对高效QAOA性能至关重要。