[论文解读] M-Tensors and Nonsingular M-Tensors

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文在高阶张量理论中建立了M-张量和非奇异M-张量的等价刻画，证明了Z-张量是非奇异M-张量当且仅当它是半正的。文章引入了偶数阶单调Z-张量，并表明它们是非奇异M-张量的一个真子集，将矩阵的关键性质推广至张量，同时揭示了等价关系中的根本差异。

ABSTRACT

The M-matrix is an important concept in matrix theory, and has many applications. Recently, this concept has been extended to higher order tensors [18]. In this paper, we establish some important properties of M-tensors and nonsingular M-tensors. An M-tensor is a Z-tensor. We show that a Z-tensor is a nonsingular M-tensor if and only if it is semi-positive. Thus, a nonsingular M-tensor has all positive diagonal entries; and an M-tensor, regarding as the limitation of a series of nonsingular M-tensors, has all nonnegative diagonal entries. We introduce even-order monotone tensors and present their spectral properties. In matrix theory, a Z-matrix is a nonsingular M-matrix if and only if it is monotone. This is no longer true in the case of higher order tensors. We show that an even-order monotone Z-tensor is an even-order nonsingular M-tensor but not vice versa. An example of an even-order nontrivial monotone Z-tensor is also given.

研究动机与目标

• 将M-矩阵的概念推广至高阶张量，并为非奇异M-张量建立等价定义。
• 研究矩阵层面的等价性（特别是半正性和单调性）是否在张量情形下依然成立。
• 澄清Z-张量、M-张量及其非奇异变体之间的关系，特别是在偶数阶情况下的关系。
• 引入并分析偶数阶单调Z-张量及其谱行为。
• 通过比较张量将M-张量框架扩展至H-张量，并为非奇异H-张量建立等价条件。

提出的方法

• 将M-张量定义为对角线元素非负且所有特征值的实部为正的Z-张量，从而推广M-矩阵。
• 证明Z-张量是非奇异M-张量当且仅当它是半正的，即存在x > 0使得Ax^{m-1} > 0。
• 通过条件Ax^{m-1} ≥ 0 ⇒ x ≥ 0对所有x成立，引入偶数阶单调Z-张量，并证明其是非奇异M-张量的一个真子类。
• 构造一个非平凡的偶数阶单调Z-张量的例子，其不是非奇异M-张量，从而证明严格包含关系。
• 通过比较张量定义H-张量，并证明张量是非奇异H-张量当且仅当其是拟严格对角占优的。
• 为非奇异H-张量建立多个等价条件，包括在对角线缩放下满足的严格对角占优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在张量情形下，半正性是否等价于为非奇异M-张量，如同在矩阵情形中一样？
• RQ2 在高阶张量中，单调性是否蕴含为非奇异M-张量？反之是否成立？
• RQ3 偶数阶单调Z-张量的谱性质是什么？它们与非奇异M-张量有何关系？
• RQ4 M-张量框架能否扩展至H-张量？非奇异H-张量的等价条件是什么？
• RQ5 矩阵中非奇异M-张量的等价定义如何推广至高阶张量？

主要发现

• Z-张量是非奇异M-张量当且仅当它是半正的，这在张量情形下建立了基本等价关系。
• 所有非奇异M-张量的对角线元素均为正，而一般M-张量的对角线元素均为非负。
• 偶数阶单调Z-张量是非奇异常M-张量的真子集，即单调性不蕴含非奇异M-张量的性质。
• 构造了一个非平凡的偶数阶单调Z-张量例子，其不是非奇异M-张量，从而证明了严格包含关系。
• 张量是非奇异H-张量当且仅当其是拟严格对角占优的，即存在正权重使得在缩放下对角占优性成立。
• 为非奇异H-张量建立了多个等价条件，包括在正对角线缩放下满足严格对角占优性，以及分解为正对角张量减去一个非负张量并满足谱条件。