[论文解读] Mabuchi geometry of big cohomology classes with prescribed singularities

Mingchen Xia|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 43被引用 6

一句话总结

本文在具有指定奇点的紧致单分支凯勒空间上，为大上同调类建立了马布希几何框架，通过引入度量 $d_p$ 于有限能量势函数空间 $\mathcal{E}^p(X,\theta;[\phi])$，而无需求解蒙日-安培方程。通过发展非极值积并证明勒隆猜想的奇异版本，将 $d_p$-度量推广至奇异空间，从而实现了奇异簇上全纯势论与度量几何的统一处理。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler unibranch complex analytic space of pure dimension. Fix a big class $α$ with smooth representative $θ$ and a model potential $ϕ$ with positive mass. We define and the study non-pluripolar products of quasi-plurisubharmonic functions on $X$. We study the spaces $\mathcal{E}^p(X,θ;[ϕ])$ of finite energy Kähler potentials with prescribed singularities for each $p\geq 1$. We define a metric $d_p$ and show that $(\mathcal{E}^p(X,θ;[ϕ]),d_p)$ is a complete metric space. This construction generalizes the usual $d_p$-metric defined for an ample class.

研究动机与目标

• 将马布希 $d_p$-度量理论从光滑流形上的丰沛类推广至奇异单分支凯勒空间上的大上同调类。
• 通过利用奇点的解析解与单分支结构，发展在奇异空间上稳健的全纯势论，特别是非极值积。
• 定义并研究具有指定奇点的有限能量势函数空间 $\mathcal{E}^p(X,\theta;[\phi])$，推广经典 $\mathcal{E}^p$ 空间。
• 在不求解蒙日-安培方程的前提下，于 $\mathcal{E}^p$ 上构造度量 $d_p$，并确保其与丰沛及大奈夫情形下的现有定义相容。
• 在空间 $\mathcal{R}^1$ 上建立屋顶结构与完全 $d_1$-度量，该度量通过光滑解析解等距提升。

提出的方法

• 利用奇点的解析解 $\pi: Y \to X^{\operatorname{red}}$ 将全纯势论从奇异空间 $X$ 转移到光滑空间 $Y$，通过单分支性确保纤维连通，并实现上同调类 $\pi^*$-同构的上同调函数。
• 证明在单分支空间上，可忽略集与极值集重合，推广勒隆猜想，从而确保贝德福德-泰勒积的局部性，并支持非极值积的构造。
• 通过在 $Y$ 上的拉回定义 $X$ 上拟上同调函数的非极值积，利用光滑空间上的已知理论及上同调函数上 $\pi^*$ 的双射性。
• 将空间 $\mathcal{E}^p(X,\theta;[\phi])$ 定义为具有由模型势函数 $\phi$ 控制的奇点的 $\theta$-上同调函数集合，其相对于 $\phi$ 的 $p$-能量有限。
• 利用能量泛函 $E^\phi$ 构造 $\mathcal{E}^p$ 上的 $d_p$-度量，其中 $d_p(\varphi,\psi) = E^\phi(\varphi) + E^\phi(\psi) - 2E^\phi(\varphi \land \psi)$（当 $p=1$ 时），并通过能量差的 $L^p$-范数扩展至 $p>1$。
• 通过射线的逐点下确界在空间 $\mathcal{R}^1(X,\theta)$ 上建立屋顶结构，并证明拉回 $\pi^*$ 在 $\mathcal{R}^1(X,\theta)$ 与 $\mathcal{R}^1(Y,\pi^*\theta)$ 之间诱导等距同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不求解蒙日-安培方程的前提下，于奇异单分支凯勒空间上的大上同调类上定义 $\mathcal{E}^p$ 空间上的 $d_p$-度量？
• RQ2 拟上同调函数的非极值积能否推广至奇异单分支空间？其在复细拓扑下是否具有局部性？
• RQ3 在奇异情形下，具有指定奇点的有限能量势函数空间 $\mathcal{E}^p(X,\theta;[\phi])$ 是否定义良好且具有测地线性？
• RQ4 能否通过与丰沛及大奈夫情形下已知定义一致的 $d_1$-度量，刻画 $\mathcal{E}^1$ 的度量完备化？
• RQ5 奇异空间上的测地线射线空间 $\mathcal{R}^1$ 是否继承一个与解析解上同构的完全屋顶度量结构？

主要发现

• 本文证明，在紧致单分支凯勒空间上，集合 $E \subseteq X$ 是可忽略集当且仅当其为极值集，从而证实了勒隆猜想的奇异版本。
• 在 $X$ 上，拟上同调函数的非极值积是良好定义的，并在复细拓扑下具有局部性，从而支持在奇异空间上构造 $\mathcal{E}^p$ 空间。
• $\mathcal{E}^p(X,\theta;[\phi])$ 上的度量 $d_p$ 在不求解蒙日-安培方程的前提下被定义，将经典 $d_p$-度量推广至奇异空间上的大上同调类。
• 当 $p=1$ 时，度量 $d_1(\varphi,\psi) = E^\phi(\varphi) + E^\phi(\psi) - 2E^\phi(\varphi \land \psi)$ 与 [DDNL18] 和 [Tru22] 中的已知定义一致，并通过基于能量的范数扩展至 $p>1$。
• 测地线射线空间 $\mathcal{R}^1(X,\theta)$ 具有 $1$-严格的完全屋顶结构，且拉回 $\pi^*$ 在 $\mathcal{R}^1(X,\theta)$ 与 $\mathcal{R}^1(Y,\pi^*\theta)$ 之间诱导等距同构。
• $\mathcal{E}^p(X,\theta;[\phi])$ 上的 $d_p$-度量与 [DNL20] 中大且奈夫类的定义一致，并将理论推广至奇异空间上的一般大类。