[论文解读] Making Three Out of Two: Three-Way Online Correlated Selection

Yong-Ho Shin, Hyung-Chan An|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Optimization and Search Problems参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的三路在线相关选择（3-OCS）算法，通过将两个两路OCS级联，将三元组元素选择中的负相关性扩展至三路选择。该方法在边权在线二分图匹配中实现了0.5093的竞争比，优于先前0.5086的界限，通过使用代理分布来近似级联OCS的复杂输出行为，从而实现性能提升。

ABSTRACT

Two-way online correlated selection (two-way OCS) is an online algorithm that, at each timestep, takes a pair of elements from the ground set and irrevocably chooses one of the two elements, while ensuring negative correlation in the algorithm's choices. Whilst OCS was initially invented by Fahrbach, Huang, Tao, and Zadimoghaddam to solve the edge-weighted online bipartite matching problem, it is an interesting technique on its own due to its capability of introducing a powerful algorithmic tool, namely negative correlation, to online algorithms. As such, Fahrbach et al. posed two tantalizing open questions in their paper, one of which was the following: Can we obtain n-way OCS for n>2, in which the algorithm can be given n>2 elements to choose from at each timestep? In this paper, we affirmatively answer this open question by presenting a three-way OCS. Our algorithm uses two-way OCS as its building block and is simple to describe; however, as it internally runs two instances of two-way OCS, one of which is fed with the output of the other, the final output probability distribution becomes highly elusive. We tackle this difficulty by approximating the output distribution of OCS by a flat, less correlated function and using it as a safe "surrogate" of the real distribution. Our three-way OCS also yields a 0.5093-competitive algorithm for edge-weighted online matching, demonstrating its usefulness.

研究动机与目标

• 解决Fahrbach等人提出的关于n > 2时n路OCS是否存在这一开放问题。
• 设计一种简单而有效的三路OCS，以在三元组在线选择中保持强负相关性。
• 通过改进边权在线二分图匹配的竞争比，展示3-OCS的实用性。
• 提出一种方法，利用更平坦、对称的代理分布来近似级联OCS的复杂输出分布。

提出的方法

• 从三元组中均匀随机选择两个元素，并输入到第一个两路OCS中。
• 将第一个OCS的输出与第三个元素（未被第一个选择的元素）结合，并输入到第二个两路OCS中。
• 最终输出为第二个OCS的结果，确保选择结果之间具有负相关性。
• 该方法使用一种更平坦、对称的代理分布来近似级联OCS的真实输出分布。
• 利用两路OCS输出的单峰性和对称性，对共同元素被重复不选择的概率进行有界估计。
• 构建一个带有有界变量的因子揭示线性规划，通过在k_max = 25和ℓ_max = 25处截断，以计算竞争比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种三路在线相关选择算法，以在三元组选择中保持负相关性？
• RQ2 如何近似级联两路OCS的复杂输出分布，以支持分析？
• RQ3 使用所提出的3-OCS，边权在线二分图匹配能实现多高的竞争比？
• RQ4 3-OCS方法是否能够改进先前边权在线匹配中0.5086的竞争比？
• RQ5 代理分布技术能否被形式化证明，以界定级联OCS下非选择概率的上界？

主要发现

• 所提出的3-OCS在边权在线二分图匹配中实现了0.50930725的竞争比，优于先前的0.5086界限。
• 该算法通过两个级联的两路OCS实例构建，第二个OCS接收第一个OCS的输出和未被选择的元素。
• 分析中使用了一种更平坦、对称的代理分布来近似选择次数的真实分布，从而实现可处理的边界估计。
• 竞争比通过一个因子揭示线性规划推导得出，其中k_max = 25且ℓ_max = 25，得到Γ = 0.50930725。
• 该方法通过利用单峰对称性和凸性近似，成功应对了级联OCS中非马尔可夫依赖性的挑战。
• 结果证实了将OCS扩展至两路以上选择的可行性，并为在线匹配算法建立了新的基准。