[论文解读] Many edge-disjoint rainbow spanning trees in general graphs

Paul Horn, Lauren M. Nelsen|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Graph theory and applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文建立了在边染色图中边不相交的彩虹生成树数量的谱下界，表明若每种颜色出现的次数至多为 $\delta \lambda_1/2$，且最小度 $\delta \geq C\log n$，则至少存在 $\lfloor \delta \lambda_1 / (C\log n) \rfloor$ 棵这样的生成树。该结果将先前针对完全图的工作推广至一般边染色图，利用归一化拉普拉斯矩阵的特征值 $\lambda_1$ 来控制颜色分布与连通性。

ABSTRACT

A rainbow spanning tree in an edge-colored graph is a spanning tree in which each edge is a different color. Carraher, Hartke, and Horn showed that for $n$ and $C$ large enough, if $G$ is an edge-colored copy of $K_n$ in which each color class has size at most $n/2$, then $G$ has at least $\lfloor n/(C\log n) floor$ edge-disjoint rainbow spanning trees. Here we strengthen this result by showing that if $G$ is any edge-colored graph with $n$ vertices in which each color appears on at most $δ\cdotλ_1/2$ edges, where $δ\geq C\log n$ for $n$ and $C$ sufficiently large and $λ_1$ is the second-smallest eigenvalue of the normalized Laplacian matrix of $G$, then $G$ contains at least $\left\lfloor\frac{δ\cdotλ_1}{C\log n} ight floor$ edge-disjoint rainbow spanning trees.

研究动机与目标

• 将现有对边不相交彩虹生成树的界限从完全图推广至一般边染色图。
• 利用谱图论，特别是归一化拉普拉斯矩阵的第二小特征值 $\lambda_1$，建立边不相交彩虹生成树数量的下界。
• 放宽对颜色分布与图正则性的假设，允许图不规则及非正常染色。
• 提供适用于随机图与度分布偏斜图的框架。
• 通过引入基于特征值的等周控制而非仅依赖组合界，改进先前结果。

提出的方法

• 利用切比雪夫不等式将归一化拉普拉斯矩阵的特征值 $\lambda_1$ 与等周常数联系起来，后者控制边扩张性。
• 应用谱技术，通过分析颜色类大小相对于 $\delta \lambda_1 / 2$ 的关系，来界定边不相交彩虹生成树的数量。
• 证明依赖于 $\lambda_1$ 越大则扩张性越强，从而支持存在大量边不相交生成树的事实。
• 将该框架应用于随机图模型，如 $G_{n,p}$ 与 $G(\mathbf{w})$，其中控制期望度与特征值。
• 利用概率集中不等式证明，当最小期望度 $\mathbf{w}_{\min} \gg \log^2 n$ 时，以高概率有 $\lambda_1 \geq 1 - \epsilon$，从而获得强界。
• 该方法无需同时要求 $\lambda_1$ 与 $\lambda_n$ 均远离 1，因此适用于更广泛的图类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用归一化拉普拉斯特征值 $\lambda_1$ 的谱条件，对一般边染色图中边不相交彩虹生成树的数量建立下界？
• RQ2 颜色类的大小如何影响边不相交彩虹生成树的最大数量，特别是当颜色类大小被限制在 $\delta \lambda_1 / 2$ 以内时？
• RQ3 在使用谱方法时，完全图中彩虹生成树的结果能在多大程度上推广至不规则或非正常边染色的图？
• RQ4 在边界 $\lfloor \delta \lambda_1 / (C\log n) \rfloor$ 中对 $\lambda_1$ 的依赖是否必要，还是可以减弱？
• RQ5 该结果能否推广至具有偏斜度分布的随机图模型，如 $G_{n,p}$ 与 $G(\mathbf{w})$？

主要发现

• 对于任意边染色图，若最小度 $\delta \geq C\log n$，且每种颜色至多出现在 $\delta \lambda_1 / 2$ 条边上，则至少存在 $\lfloor \delta \lambda_1 / (C\log n) \rfloor$ 棵边不相交的彩虹生成树。
• 该界对正则图与非正则图均成立，扩展了以往要求图正则或染色正常的结论。
• 在随机 $d$-正则图中，若 $C\log n \leq d \leq C n^{2/3}$，且每种颜色类大小至多为 $d(1 - \alpha/\sqrt{d})/2$，则以高概率存在 $\lfloor (d - \alpha\sqrt{d}) / (C\log n) \rfloor$ 棵这样的生成树。
• 对于随机图 $G(\mathbf{w})$，若 $\mathbf{w}_{\min} \gg \log^2 n$，且每种颜色类大小至多为 $\mathbf{w}_{\min}(1 - \epsilon)/2$，则以高概率存在 $\lfloor \mathbf{w}_{\min}(1 - \epsilon) / (C\log n) \rfloor$ 棵边不相交的彩虹生成树。
• 在证明中对 $\lambda_1$ 的依赖是自然的，因为它通过切比雪夫不等式控制扩张性；若去除 $\lambda_1$，边界很可能会变弱。
• 该边界在某种意义上是紧的：在 $\delta$-正则图中，若颜色类大小超过 $\delta/2$，则可能根本不存在任何彩虹生成树。