[论文解读] Martin-Lof identity types in the C-systems defined by a universe category

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在从范畴论中的类型族构造出的C-系统中，为马丁-吕夫的等式类型建立了一个范畴论框架，引入了J-结构以形式化J-消除规则。证明了这些结构在类型族范畴函子下的函子性，为在单纯集上构造类型论的统一模型提供了基础步骤。

ABSTRACT

This paper continues the series of papers that develop a new approach to syntax and semantics of dependent type theories. Here we study the interpretation of the rules of the identity types in the intensional Martin-Lof type theories on the C-systems that arise from universe categories. In the first part of the paper we develop constructions that produce interpretations of these rules from certain structures on universe categories while in the second we study the functoriality of these constructions with respect to functors of universe categories. The results of the first part of the paper play a crucial role in the construction of the univalent model of type theory in simplicial sets.

研究动机与目标

• 在由类型族范畴导出的C-系统中，发展马丁-吕夫等式类型规则的范畴论解释。
• 在从类型族范畴导出的C-系统上定义并构造J-结构——以形式化J-消除规则。
• 在类型族范畴之间的函子下，建立这些J-结构的函子性。
• 为单纯集上的类型论统一模型提供范畴论基础。

提出的方法

• 在具有两类态射的范畴中的C-系统和类型上引入J-结构。
• 从类型族范畴上的J-结构，构造C-系统 $CC( cal C, p)$ 上的J-结构。
• 使用与J-结构相容的类型族范畴函子概念，以确保范畴间的结构一致性。
• 应用函子与J-结构之间的相容性条件，以证明该构造的函子性。
• 利用自然变换和拉回图，形式化等式类型及其消除规则的行为。
• 依赖先前工作的引理（例如，[15, 引理5.8]）来验证涉及J-消除规则和结构映射的图的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 马丁-吕夫等式类型的规则如何在从类型族范畴导出的C-系统中进行范畴论解释？
• RQ2 何种结构在类型族范畴上会诱导出关联C-系统上的J-结构？
• RQ3 J-结构在类型族范畴之间的函子作用下如何表现？
• RQ4 何种条件可确保C-系统之间的函子保持J-结构？
• RQ5 J-结构的函子性如何支持在单纯集中构造统一模型？

主要发现

• 在类型族范畴上的J-结构，会诱导出关联C-系统 $CC( cal C, p)$ 上的相应J-结构，从而形式化等式类型的消除规则。
• J-结构的构造是函子性的：给定一个与J-结构相容的类型族范畴之间的函子，则由此诱导的C-系统之间的函子保持J-结构。
• 函子与J-结构之间的相容性确保了J-消除规则在范畴间与拉回和结构映射保持交换。
• 该证明依赖于验证涉及自然变换、拉回和结构映射的图的交换性，特别是通过 [15, 引理5.8] 和 [15, 引理6.2(2)]。
• 通过相容性条件和投影恒等式，建立了关键等式 $\psi_{\Gamma}\circ\Phi(\phi(\Gamma,T,P,s0)\circ Jp)\circ\widetilde{\zeta}_{\bf\Phi} = \phi(H(\Gamma),H(T),H(P),H(s0))\circ Jp'$。
• 该框架通过确保等式类型在相关函子下被保持，为单纯集上的类型论统一模型提供了范畴论基础。