[论文解读] Matchings under Preferences: Strength of Stability and Trade-offs

Jiehua Chen, Piotr Skowron+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文引入了两种关于偏好下匹配的定量稳定性概念——鲁棒性与近似稳定性。鲁棒性通过要求匹配在最多 d 次偏好列表交换后仍保持稳定，从而强化了经典稳定性；而近似稳定性则通过允许最多 d 次交换后恢复稳定，从而放宽了经典稳定性。主要贡献在于提出了一种多项式时间算法，用于寻找社会最优鲁棒匹配；而寻找最优近似稳定匹配则被证明是计算上困难的。

ABSTRACT

We propose two solution concepts for matchings under preferences: robustness and near stability. The former strengthens while the latter relaxes the classic definition of stability by Gale and Shapley (1962). Informally speaking, robustness requires that a matching must be stable in the classic sense, even if the agents slightly change their preferences. Near stability, on the other hand, imposes that a matching must become stable (again, in the classic sense) provided the agents are willing to adjust their preferences a bit. Both of our concepts are quantitative; together they provide means for a fine-grained analysis of stability for matchings. Moreover, our concepts allow to explore the trade-offs between stability and other criteria of societal optimality, such as the egalitarian cost and the number of unmatched agents. We investigate the computational complexity of finding matchings that implement certain predefined trade-offs. We provide a polynomial-time algorithm that given agents' preferences returns a socially optimal robust matching, and we prove that finding a socially optimal and nearly stable matching is computationally hard.

研究动机与目标

• 为解决经典稳定性存在的局限性，即其为二元判定且无法反映偏好不确定性或微小变化的影响。
• 提出鲁棒性作为强化的稳定性概念，确保在偏好发生微小扰动后仍保持稳定。
• 引入近似稳定性作为弱化版本的稳定性概念，允许在偏好列表发生微小调整后恢复稳定。
• 分析稳定性强度与社会最优性标准（如平等成本和未匹配人数）之间的权衡。
• 研究在稳定性强度与社会最优性之间取得平衡的匹配的计算复杂性。

提出的方法

• 定义 d-鲁棒性：若匹配在偏好列表中任意最多 d 次交换后仍保持稳定，则称其为 d-鲁棒。
• 定义局部 d-近似稳定性：若每个参与者的偏好列表中最多进行 d 次交换后，匹配即变为稳定，则称其为局部 d-近似稳定。
• 使用核化方法缩小问题规模，证明任意稳定匹配中已匹配人数构成大小至多为 2n_m 的问题核。
• 对所有在交换距离 d_G 内的可能偏好配置进行迭代枚举，以检查是否存在稳定且完备的匹配。
• 证明通过专用算法，寻找社会最优鲁棒匹配可在多项式时间内求解。
• 证明寻找社会最优近似稳定匹配是 NP-难的，且即使在参数化复杂性下也难以近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否定义一种更强的稳定性概念，使其在偏好发生微小扰动后依然有效？
• RQ2 我们能否定义一种更弱的稳定性概念，使其在偏好发生微小调整后可恢复稳定？
• RQ3 寻找兼具鲁棒性与社会最优性的匹配的计算复杂性如何？
• RQ4 稳定性强度与社会最优性度量（如平等成本和未匹配人数）之间存在何种权衡？
• RQ5 近似稳定性能否推广至存在并列偏好或非二分图情形（如稳定室友问题）？

主要发现

• 存在一种多项式时间算法，可计算社会最优 d-鲁棒匹配，即使在优化平等成本等社会准则时亦然。
• 寻找社会最优且局部 d-近似稳定的匹配在强意义下以及在参数化复杂性下均是计算困难的。
• 寻找近似稳定匹配的问题具有大小至多为 2n_m 的问题核，其中 n_m 是每个稳定匹配中已匹配的参与人数。
• 用于近似稳定性的核化方法无法推广至平等成本情形，原因在于未匹配的参与者可能在最优平等稳定匹配中被重新匹配。
• 即使引入并列偏好，鲁棒性依然保持可解，但论文未解决并列情形下近似稳定性的复杂性。
• 该框架将现有概念（如加法 α-稳定性与 r-最大稳定性）统一于一个基于输入配置交换距离有界的统一模型之下。