[论文解读] Mathematical semantics of intuitionistic logic

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 72被引用 6

一句话总结

本文通过在扩展的元逻辑中形式化柯尔莫哥洛夫的语义解释，为直觉逻辑发展了一种广义模型理论，引入了层值模型，这些模型验证直觉逻辑，并将其与塔斯基式语义学调和起来。主要贡献在于提出了一种元澄清的BHK解释，为直觉逻辑及其元理论提供了构造性语义学，并在层值模型下实现了完备性。

ABSTRACT

This work is a mathematician's attempt to understand intuitionistic logic. It can be read in two ways: as a research paper interspersed with lengthy digressions into rethinking of standard material; or as an elementary (but highly unconventional) introduction to first-order intuitionistic logic. For the latter purpose, no training in formal logic is required, but a modest literacy in mathematics, such as topological spaces and posets, is assumed. The main theme of this work is the search for a formal semantics adequate to Kolmogorov's informal interpretation of intuitionistic logic (whose simplest part is more or less the same as the so-called BHK interpretation). This search goes beyond the usual model theory, based on Tarski's notion of semantic consequence, and beyond the usual formalism of first-order logic, based on schemata. Thus we study formal semantics of a simplified version of Paulson's meta-logic, used in the Isabelle prover. By interpreting the meta-logical connectives and quantifiers constructively, we get a generalized model theory, which covers, in particular, realizability-type interpretations of intuitionistic logic. On the other hand, by analyzing Kolmogorov's notion of semantic consequence (which is an alternative to Tarski's standard notion), we get an alternative model theory. By using an extension of the meta-logic, we further get a generalized alternative model theory, which suffices to formalize Kolmogorov's semantics. On the other hand, we also formulate a modification of Kolmogorov's interpretation, which is compatible with the usual, Tarski-style model theory. Namely, it can be formalized by means of sheaf-valued models, which turn out to be a special case of Palmgren's categorical models; intuitionistic logic is complete with respect to this semantics.

研究动机与目标

• 将柯尔莫哥洛夫对直觉逻辑的非形式化语义解释形式化，该解释与标准的塔斯基式模型论相悖。
• 发展一种广义模型理论，以容纳直觉逻辑的可实现性类型和层基语义学。
• 通过在层值模型上证明完备性，将直觉逻辑与经典模型论调和起来。
• 通过为元逻辑中的元联结词和元量词提供构造性解释，扩展保罗森的元逻辑，从而实现柯尔莫哥洛夫语义蕴含的形式化。
• 引入一种元澄清的BHK解释，通过构造性框架系统地解释逻辑公式和元逻辑公式，方法是通过问题的解。

提出的方法

• 通过引入构造性解释的元联结词和元量词，扩展保罗森的元逻辑，从而实现对可导性和可接受性的形式化推理。
• 引入层值模型作为塔斯基式模型的推广，其中真值是拓扑空间上的层，确保直觉逻辑的完备性。
• 通过区分原始问题、复合问题和元复合问题，定义元澄清的BHK解释，将解的存在性通过赋值函数映射到{ T, F }。
• 采用两级问题层次：O（内容性问题）和Q（元问题），通过在问题族上的内容性直觉逻辑联结词解释元联结词。
• 递归地应用“解”的概念：当且仅当存在一种构造时，一个问题才有解，该条件通过一元联结词 ⋄（读作“有解”）形式化。
• 通过证明：在广义替代模型中，一个原则有效当且仅当在相应的广义模型中有效，从而建立完备性，该结论在层值语义下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯尔莫哥洛夫对直觉逻辑的非形式化语义解释如何能在广义模型理论中形式化？
• RQ2 能否构建一种语义学，使直觉逻辑与塔斯基式模型论调和，同时保持其构造性特征？
• RQ3 元逻辑在形式化直觉系统中的可导性、可接受性和稳定可接受性方面起什么作用？
• RQ4 层值模型如何在可实现性和经典模型论之间为直觉逻辑架起桥梁？
• RQ5 元澄清的BHK解释的精确形式化是什么？它与标准BHK解释有何不同？

主要发现

• 直觉逻辑在层值模型下是完备的，这些模型是帕姆布兰广义范畴模型的特例。
• 元澄清的BHK解释为元逻辑陈述提供了形式语义学，通过在域和问题族上的量化，区分了可导性、稳定可接受性和可接受性。
• 定义了逻辑L的广义替代模型为一种元结构，其中推导系统D是有效的，且此类模型恰好验证与广义模型相同的原理。
• 本文表明，标准BHK解释不足以解释柯尔莫哥洛夫的语义学，但元澄清的BHK解释通过问题层次和解的存在性，成功地形式化了它。
• 赋值域与预赋值域之间的区别影响规则的有效性，如示例7.16所示，表明预赋值域并不以与赋值域相同的方式保持规则有效性。
• 扩展的元逻辑使得柯尔莫哥洛夫语义蕴含得以形式化，而这种形式化与塔斯基的观念不相容，从而为直觉逻辑建立了一种新的模型论基础。