[论文解读] Matroid and Knapsack Center Problems

Danny Z. Chen, Jian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Facility Location and Emergency Management参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了拟阵中心问题和背包中心问题的近似算法，这两个问题是经典 k-中心问题的推广。针对一般度量空间中的拟阵中心问题，提出了一个 3-近似算法；针对其异常值变体，提出了一个 7-近似算法。对于背包中心问题，当一个背包约束严格满足而其他约束可允许 $1+\epsilon$ 的违反时，给出了一个 3-近似算法，并将该结果扩展到具有类似保证的异常值版本。

ABSTRACT

In the classic $k$-center problem, we are given a metric graph, and the objective is to open $k$ nodes as centers such that the maximum distance from any vertex to its closest center is minimized. In this paper, we consider two important generalizations of $k$-center, the matroid center problem and the knapsack center problem. Both problems are motivated by recent content distribution network applications. Our contributions can be summarized as follows: 1. We consider the matroid center problem in which the centers are required to form an independent set of a given matroid. We show this problem is NP-hard even on a line. We present a 3-approximation algorithm for the problem on general metrics. We also consider the outlier version of the problem where a given number of vertices can be excluded as the outliers from the solution. We present a 7-approximation for the outlier version. 2. We consider the (multi-)knapsack center problem in which the centers are required to satisfy one (or more) knapsack constraint(s). It is known that the knapsack center problem with a single knapsack constraint admits a 3-approximation. However, when there are at least two knapsack constraints, we show this problem is not approximable at all. To complement the hardness result, we present a polynomial time algorithm that gives a 3-approximate solution such that one knapsack constraint is satisfied and the others may be violated by at most a factor of $1+ε$. We also obtain a 3-approximation for the outlier version that may violate the knapsack constraint by $1+ε$.

研究动机与目标

• 解决拟阵中心问题，即中心必须构成给定拟阵中的独立集，并提供近似算法。
• 研究具有一个或多个背包约束的背包中心问题，以建模内容分发网络中的预算化服务器部署。
• 研究两种问题的鲁棒版本，允许排除异常值，并处理具有有界违反的约束。
• 弥合已知的不可近似性下界与这些推广设施位置问题可实现的近似比之间的差距。

提出的方法

• 提出一种基于原始对偶方法和拟阵独立性预言机访问的 3-近似算法，用于求解拟阵中心问题。
• 引入一种部分枚举技术，以处理背包中心问题中的重物品（即权重至少为 $\epsilon \cdot \mathcal{B}$ 的物品）。
• 结合贪心聚类策略与迭代取整，构造满足背包约束且违反度在 $1+\epsilon$ 以内的解。
• 使用分摊论证和结构分析来界定近似比，特别是在鲁棒背包中心设置下。
• 利用划分拟阵结构来建模内容分发网络中的预算约束。
• 采用一种新颖的分析框架，将计算解的成本与最优解的成本关联起来，即使在约束有轻微违反的情况下也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有通用拟阵约束的拟阵中心问题，能否获得常数因子近似？
• RQ2 当存在多个背包约束时，背包中心问题的可近似性如何？
• RQ3 对于具有约束违反的鲁棒（异常值）背包中心问题，是否存在常数因子近似？
• RQ4 鉴于已知的 2-近似下界，能否将拟阵中心问题的近似比改进至 3 以下？
• RQ5 在多约束背包中心问题中，约束违反与近似比之间存在何种权衡？

主要发现

• 拟阵中心问题在一般度量空间下存在 3-近似算法，即使在直线上也是 NP-难的。
• 拟阵中心问题的异常值版本实现了 7-近似，优于基础问题的近似比。
• 具有单个背包约束的背包中心问题存在 3-近似算法，与先前结果一致。
• 当存在两个或更多背包约束时，除非 P=NP，否则该问题不可近似，确立了强有力的下界结果。
• 针对鲁棒背包中心问题，提出了一种 3-近似算法，可精确满足一个背包约束，其他约束的违反度不超过 $1+\epsilon$。
• 类似地，对于具有相同违反保证的鲁棒背包中心问题的异常值版本，也实现了 3-近似。