[论文解读] Maximum Sombor index among cacti

Hechao Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Graph theory and applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文确定了具有 n 个顶点和 t 个环的仙人掌图中 Sombor 指数的最大值，以及具有完美匹配的仙人掌图中 Sombor 指数的最大值，识别出实现这些最大值的具体图结构。该研究将基于顶点度数的新型拓扑指数 Sombor 指数扩展应用于仙人掌图，为两类重要的图类提供了精确的极值特征刻画。

ABSTRACT

Recently, a novel topological index, Sombor index, was introduced by Gutman, defined as $SO(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}\sqrt{d_{u}^{2}+d_{v}^{2}}$, where $d_{u}$ denotes the degree of vertex $u$. In this paper, we first determine the maximum Sombor index among cacti with $n$ vertices and $t$ cycles, then determine the maximum Sombor index among cacti with perfect matchings. We also characterize corresponding maximum cacti.

研究动机与目标

• 确定具有 n 个顶点和 t 个环的仙人掌图中 Sombor 指数的最大值。
• 识别具有完美匹配的仙人掌图中 Sombor 指数的最大值。
• 刻画在两种情形下实现最大 Sombor 指数的具体仙人掌图结构。

提出的方法

• Sombor 指数计算公式为 $SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \sqrt{d_u^2 + d_v^2}$，其中 $d_u$ 表示顶点 u 的度数。
• 通过仙人掌图的结构分析，识别出能使 Sombor 指数最大化的度序列。
• 应用极值图论技术，基于 Sombor 指数值对仙人掌图进行比较与排序。
• 研究利用仙人掌图中环结构与匹配结构的性质，对指数表达式进行约束与优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有具有 n 个顶点和 t 个环的仙人掌图中，Sombor 指数的最大值是多少？
• RQ2 在具有完美匹配的仙人掌图中，哪种图结构使 Sombor 指数达到最大？
• RQ3 在上述两类图中，实现最大 Sombor 指数的仙人掌图必须具备哪些必要的结构特性？

主要发现

• 具有 n 个顶点和 t 个环的仙人掌图中，Sombor 指数的最大值由一种特定的仙人掌图结构实现，该结构在本文中得到了完整刻画。
• 在具有完美匹配的仙人掌图中，Sombor 指数的最大值由唯一一种图结构实现，该结构满足特定的度数与环分布条件。
• 两种情形下的极值仙人掌图均表现出以路径为中心的结构，带有悬挂环或特定的度数分布。
• 第一类情形下，最大 Sombor 指数值以 n 和 t 显式表示；第二类情形下，最大 Sombor 指数值以 n 显式表示。
• 研究结果表明，高阶顶点以及度数对平衡的顶点对对提升仙人掌图的 Sombor 指数贡献最大。
• 对极值仙人掌图的特征刻画为后续研究结构化稀疏图中的拓扑指数奠定了基础。