[论文解读] Mazur manifolds and corks with small shadow complexities

Hironobu Naoe|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文利用图夫列夫的阴影理论和可缩特殊多面体，构造了无穷多个阴影复杂度为一的Mazur流形与cork。通过分析扇贝形（abalone）和另一类单顶点多面体，以及辛格的房子（Bing’s house），作者证明了由这些阴影导出的某些4-流形为Mazur型，并通过其边界上的对合作用实现了非平凡cork结构，扩展了已知的Akbulut的$W^\pm(l,k)$等例子。

ABSTRACT

In this paper we find infinitely many Mazur type manifolds and corks with shadow complexity one among the 4-manifolds constructed from contractible special polyhedra having one true vertex by using the notion of Turaev's shadow. We also find such manifolds among 4-manifolds constructed from Bing's house. Our manifolds with shadow complexity one contain the Mazur manifolds $W^{\pm }(l,k)$ which were studied by Akbulut and Kirby.

研究动机与目标

• 对具有最小阴影复杂度的4-流形进行分类与构造，重点研究复杂度为一的情形。
• 在由可缩特殊多面体导出的4-流形中，识别出新的Mazur流形与cork实例。
• 通过识别阴影复杂度为一的cork，扩展已知的奇异4-流形构造方法。
• 提供一种系统化方法，利用图夫列夫从具有一至两个真顶点的多面体中重建cork。

提出的方法

• 利用图夫列夫的阴影理论，从具有一至两个真顶点并赋予光泽的特殊多面体重建4-流形。
• 应用基尔比演算，将阴影图转化为基尔比图，并分析其柄分解结构。
• 计算边界3-流形的Casson不变量，以区分所构造4-流形的拓扑类型。
• 通过Eliashberg准则验证4-流形上的Stein结构，以检测非微分同胚的cork。
• 在4-流形边界上构造对合，并证明其无法光滑地延拓至内部，从而确认cork结构。
• 分析边界上的斜率长度与双曲结构，以验证可缩性与Mazur型性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 由单顶点特殊多面体构造的哪些4-流形属于Mazur型？
• RQ2 能否系统地从可缩阴影中构造出阴影复杂度为一的cork？
• RQ3 流形$A(m,n)$与$\tilde{A}(m,n-1/2)$是否能生成无穷多个不同胚的Mazur型4-流形？
• RQ4 能否利用辛格的房子构造出新的阴影复杂度为二的cork与Mazur流形？
• RQ5 何种光泽条件可确保由阴影构造的4-流形为cork？

主要发现

• 无穷多个Mazur型4-流形由扇贝形$A$和另一类单顶点多面体$\tilde{A}$生成，参数由整数$m,n$决定。
• 当$m \neq 0$时，流形$A(m,n)$为Mazur型，且$A(m,n)$与$A(m',n')$不同胚当且仅当$m \neq m'$。
• 当$m \neq 0$时，流形$\tilde{A}(m,n-1/2)$为Mazur型，且$\tilde{A}(m,n-1/2)$与$\tilde{A}(m',n'-1/2)$不同胚当且仅当$m \neq m'$。
• 当$m < 0$时，对$(\tilde{A}(m,-3/2), \tilde{f}_m)$构成cork，其中$\tilde{f}_m$为边界上的对合，且无法光滑延拓至内部。
• 当$|m| \geq 3$且$|n| \geq 3$时，由辛格的房子导出的4-流形$B(l,m,n)$为Mazur型，且当$m,n < 0$时，$(B(0,m,n), f_{(m,n)})$构成cork。
• 4-流形$B(0,-1,-1)$微分同胚于$\overline{W}_1$，即Akbulut与Yasui研究中已知的cork。