[论文解读] Mean equicontinuity, almost automorphy and regularity

Felipe García‐Ramos, Tobias Jäger+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过刻画其最大等度连续因子的结构，对具有离散谱的严格遍历拓扑动力系统进行了完整分类。证明了对于极小均等度连续系统，因子映射是几乎1-1（即系统是几乎自同构）当且仅当系统是频繁稳定的；且当且仅当系统是直径均等度连续时，因子映射是正则的（在全哈尔测度集上具有平凡纤维）。该工作通过构造一个具有正拓扑熵的传递系统，该系统是几乎直径均等度连续的，解决了长期存在的一个问题，并为弗斯滕伯格的多重重复猜想在均等度连续系统中提供了部分肯定答案。

ABSTRACT

The aim of this article is to obtain a better understanding and classification of strictly ergodic topological dynamical systems with discrete spectrum. To that end, we first determine when an isomorphic maximal equicontinuous factor map of a minimal topological dynamical system has trivial (one point) fibres. In other words, we characterize when minimal mean equicontinuous systems are almost automorphic. Furthermore, we investigate another natural subclass of mean equicontinuous systems, so-called diam-mean equicontinuous systems, and show that a minimal system is diam-mean equicontinuous if and only if the maximal equicontinuous factor is regular (the points with trivial fibres have full Haar measure). Combined with previous results in the field, this provides a natural characterization for every step of a natural hierarchy for strictly ergodic topological models of ergodic systems with discrete spectrum. We also construct an example of a transitive almost diam-mean equicontinuous system with positive topological entropy, and we give a partial answer to a question of Furstenberg related to multiple recurrence.

研究动机与目标

• 通过分析其最大等度连续因子映射的结构，对具有离散谱的严格遍历拓扑动力系统进行分类。
• 确定极小均等度连续系统的最大等度连续因子映射何时是几乎1-1的，即系统何时是几乎自同构的。
• 通过一种新概念——直径均等度连续性，刻画最大等度连续因子的正则性，并证明其等价于因子映射是正则的（在全哈尔测度集上具有平凡纤维）。
• 构造一个几乎直径均等度连续但具有正拓扑熵的传递系统，表明该类严格大于巴拿赫直径均等度连续系统类。
• 通过证明在极小均等度连续系统中，泛函点满足所有移位幂的重复条件，为弗斯滕伯格关于多重重复的问题提供部分答案。

提出的方法

• 引入频繁稳定性的概念，这是一种与李雅普诺夫稳定性相关的局部性质，并证明对于极小均等度连续系统，最大等度连续因子映射是几乎1-1当且仅当系统是频繁稳定的。
• 将直径均等度连续性定义为均等度连续性的强化形式，基于随时间变化的可分集合平均直径，证明该性质等价于最大等度连续因子的正则性。
• 利用逐点多重遍历定理和不变测度的性质，分析均等度连续系统中泛函点的重复行为。
• 应用哈姆斯-冯·诺伊曼定理和谱理论，证明具有同构最大等度连续因子的均等度连续系统具有离散谱。
• 通过有限型子移位上的符号动力学构造一个传递系统，证明其是几乎直径均等度连续但非巴拿赫直径均等度连续，且具有正拓扑熵。
• 利用原始系统与其最大等度连续因子之间的同构关系（由Li、Tu和Ye建立），将测度论性质转移到拓扑设定中。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时极小均等度连续系统的最大等度连续因子映射是几乎1-1的，即系统何时是几乎自同构的？
• RQ2 在最大等度连续因子映射是正则的（在全哈尔测度集上具有平凡纤维）的系统中，其拓扑与测度论特征是什么？
• RQ3 一个传递系统能否是几乎直径均等度连续但具有正拓扑熵？这与巴拿赫直径均等度连续性有何关系？
• RQ4 弗斯滕伯格的多重重复猜想对极小均等度连续系统是否成立？若成立，其成立的点集是什么？
• RQ5 均等度连续性性质层次（巴拿赫、直径、均、频繁）之间的关系及其对拓扑与测度论结构的影响是什么？

主要发现

• 极小均等度连续系统是几乎自同构的，当且仅当它是频繁稳定的，从而在最大等度连续因子中建立了几乎1-1纤维的拓扑刻画。
• 最大等度连续因子映射是正则的，当且仅当系统是直径均等度连续的，从而以一种局部拓扑性质完全刻画了正则性。
• 存在一个传递系统，它是几乎直径均等度连续但具有正拓扑熵，表明该类严格包含于巴拿赫直径均等度连续系统类。
• 本文构造的系统具有零巴拿赫均等度连续性但具有正拓扑熵，表明均等度连续性性质的层次是严格且非平凡的。
• 对于极小均等度连续系统，满足弗斯滕伯格多重重复条件的点集具有全测度：对任意 d ∈ ℕ，对角点 (x,x,…,x) 在乘积系统 T × T² × … × Tᵈ 下是极小的。
• 构造中集合 A₁ 的平均直径随 N → ∞ 趋于零，表明其具有强于几乎直径均等度连续性的等度连续形式。