[论文解读] Mean-square convergence rates of implicit Milstein type methods for SDEs with non-Lipschitz coefficients

Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文提出了一类用于带非全局Lipschitz系数的随机微分方程（SDEs）的双隐式Milstein型方法，通过两个参数（θ, η）隐式处理漂移项和扩散项。该方法在较宽松条件下实现了均方收敛阶为一的收敛率，并在三个金融SDE模型上展示了最优收敛性与正性保持性，包括Heston 3/2模型和Ait-Sahalia利率模型。

ABSTRACT

A class of implicit Milstein type methods is introduced and analyzed in the present article for stochastic differential equations (SDEs) with non-globally Lipschitz drift and diffusion coefficients. By incorporating a pair of method parameters $θ, η\in [0, 1]$ into both the drift and diffusion parts, the new schemes are indeed a kind of drift-diffusion double implicit methods. Within a general framework, we offer upper mean-square error bounds for the proposed schemes, based on certain error terms only getting involved with the exact solution processes. Such error bounds help us to easily analyze mean-square convergence rates of the schemes, without relying on a priori high-order moment estimates of numerical approximations. Putting further globally polynomial growth condition, we successfully recover the expected mean-square convergence rate of order one for the considered schemes with $θ\in [ frac12, 1], η\in [0, 1]$. Also, some of the proposed schemes are applied to solve three SDE models evolving in the positive domain $(0, \infty)$. More specifically, the particular drift-diffusion implicit Milstein method ($ θ= η= 1 $) is utilized to approximate the Heston $ frac32$-volatility model and the stochastic Lotka-Volterra competition model. The semi-implicit Milstein method ($θ=1, η= 0$) is used to solve the Ait-Sahalia interest rate model. Thanks to the previously obtained error bounds, we reveal the optimal mean-square convergence rate of the positivity preserving schemes under more relaxed conditions, compared with existing relevant results in the literature. Numerical examples are also reported to confirm the previous findings.

研究动机与目标

• 开发适用于非全局Lipschitz系数SDEs的鲁棒数值格式，因为标准Euler-Maruyama方法会因发散而失效。
• 解决在刚性或超线性SDEs中显式格式缺乏均方收敛保证的问题，尤其是在需要保持正性的金融模型中。
• 设计能够保持正性并实现最优收敛速率的隐式Milstein型方法，且无需依赖数值近似高阶矩估计。
• 在弱于现有工作的条件下建立收敛理论，特别是针对保持正性的格式。
• 通过在三个基准SDE模型上的数值实验验证理论结果：Heston 3/2模型、随机Lotka-Volterra模型和Ait-Sahalia利率模型。

提出的方法

• 提出一种双隐式Milstein型格式，由参数θ, η ∈ [0,1]参数化，隐式处理漂移项f(Y)和扩散项g(Y)。
• 该格式引入增量ΔW_n和迭代Itô积分I_{j1,j2}^{tn,tn+1}以捕捉二阶效应，从而在精度上优于Euler-Maruyama方法。
• 采用半隐式格式，其中θ和η分别控制漂移和扩散项的隐式程度，从而实现稳定性和正性保持。
• 通过仅依赖精确解的界进行误差分析，避免对数值近似事先矩估计的依赖。
• 在系数满足全局多项式增长条件的假设下建立了理论收敛性，从而在θ ∈ [1/2,1]，η ∈ [0,1]时恢复阶一均方收敛。
• 对特定情形（如θ=η=1和θ=1, η=0）证明了显式可解性，使该方法可在正定义域SDE上实现应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐式Milstein型格式能否在不依赖数值近似事先矩估计的条件下，对具有非全局Lipschitz系数的SDE实现阶一均方收敛？
• RQ2 在系数和方法参数（θ, η）满足何种条件下，可确保具有超线性增长的SDE中同时实现收敛与正性保持？
• RQ3 与现有显式或单隐式格式相比，所提出的双隐式格式在刚性SDE中的收敛速率与稳定性表现如何？
• RQ4 在较宽松假设下，能否严格恢复并数值验证保持正性的格式的阶一收敛速率？
• RQ5 该格式在真实金融模型（如Heston 3/2波动率模型和Ait-Sahalia利率模型）中的表现如何？

主要发现

• 所提出的双隐式Milstein方法在θ=η=1时，对Heston 3/2波动率模型在较宽松条件下实现了阶一均方收敛速率。
• 在随机Lotka-Volterra竞争模型中，相同格式保持了正性并实现了0.9923的均方收敛速率，与理论预测一致。
• 对Ait-Sahalia利率模型应用半隐式Milstein格式（θ=1, η=0）时，标准情形下收敛速率为0.9798，临界情形下为1.0129，两者均与阶一收敛一致。
• 数值模拟结果表明，所有格式在Heston 3/2和随机LV模型的10,000条样本路径中均保持了正性。
• 误差分析框架避免了对事先高阶矩估计的依赖，从而为非Lipschitz SDE提供了更简洁的收敛性证明。
• 该结果是首次在比以往文献更宽松的假设下，实现此类模型中保持正性的格式的最优收敛速率。