[论文解读] Strong convergence of an adaptive time-stepping Milstein method for SDEs with one-sided Lipschitz drift.

Cónall Kelly, Gabriel J. Lord+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于具有单边Lipschitz漂移和全局Lipschitz扩散的随机微分方程（SDEs）的自适应显式Milstein方法，采用路径有界的时间步长策略动态调整步长并防止不稳定。该方法实现了强$L_2$收敛阶为一，且极少触发备用方法，在数值测试中优于固定步长变体。

ABSTRACT

We introduce explicit adaptive Milstein methods for stochastic differential equations with one-sided Lipschitz drift and globally Lipschitz diffusion with no commutativity condition. These methods rely on a class of path-bounded timestepping strategies which work by reducing the stepsize as solutions approach the boundary of a sphere, invoking a backstop method in the event that the timestep becomes too small. We prove that such schemes are strongly $L_2$ convergent of order one. This convergence order is inherited by an explicit adaptive Euler-Maruyama scheme in the additive noise case. Moreover we show that the probability of using the backstop method at any step can be made arbitrarily small. We compare our method to other fixed-step Milstein variants on a range of test problems.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有单边Lipschitz漂移和全局Lipschitz扩散的SDEs的稳定显式时间积分格式，其中标准的固定步长方法可能失效。
• 在最小假设条件下确保强$L_2$收敛阶为一，包括不要求扩散系数满足交换性条件。
• 设计一种路径有界的时间步长策略，通过在解边界附近减小步长来维持稳定性。
• 通过将其实现触发概率控制在任意小的水平，最大限度减少对备用方法的依赖。
• 在基准测试问题上，通过实验比较自适应Milstein方法与固定步长Milstein和Euler-Maruyama格式的性能。

提出的方法

• 该方法采用自适应时间步长策略，当解轨迹接近球体边界时减小步长，以确保路径有界性。
• 仅当时间步长过小时才触发备用方法，其使用概率可被控制为任意小。
• 该格式基于显式Milstein半离散化，扩展后可处理无需扩散系数满足交换性的单边Lipschitz漂移。
• 收敛性分析依赖于局部截断误差的有界性，以及通过自适应步长规则控制解路径的增长。
• 该方法在加性噪声情况下继承了底层Milstein格式的强一阶收敛性，即使漂移仅满足单边Lipschitz条件。
• 路径有界策略确保数值解保持在紧致区域内，从而支持稳定性和收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式自适应Milstein方法能否对具有单边Lipschitz漂移和全局Lipschitz扩散的SDEs实现强$L_2$收敛阶为一？
• RQ2 如何设计自适应时间步长策略以在不依赖扩散系数交换性条件的情况下维持稳定性？
• RQ3 触发备用方法的概率是多少？能否在实际中使其任意小？
• RQ4 自适应Milstein方法在精度和稳定性方面与固定步长Milstein和Euler-Maruyama格式相比如何？
• RQ5 自适应策略在加性噪声情况下是否保持了一阶收敛速率？

主要发现

• 所提出的自适应Milstein方法对具有单边Lipschitz漂移和全局Lipschitz扩散的SDEs实现了强$L_2$收敛阶为一。
• 通过适当设计路径有界时间步长策略，任意时刻使用备用方法的概率可被控制为任意小。
• 自适应Euler-Maruyama格式在加性噪声情况下继承了一阶强收敛速率，扩展了其适用范围。
• 数值实验表明，与固定步长Milstein变体相比，该方法在一系列测试问题上表现出更优的稳定性和精度。
• 该方法即使在不满足扩散系数交换性条件的情况下依然有效，拓宽了其实际应用范围。
• 路径有界时间步长策略成功防止了解的爆炸，并在高变异性区域保持了数值稳定性。