[论文解读] Minimal complex surfaces with Levi-Civita Ricci-flat metrics

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过证明其为凯勒-卡拉比-丘曲面（Enriques、双椭圆、K3 和 2-环面）或霍普夫曲面，对 admits Levi-Civita Ricci-flat Hermitian 度量的极小复曲面进行了分类。文章引入了首个 Aeppli-Chern 类作为黎曼几何与复几何之间的桥梁，并证明 Levi-Civita Ricci-flatness 意味着该类的消失，从而在非凯勒设定下实现了类似于卡拉比猜想的分类。

ABSTRACT

This is a continuation of our previous paper [14]. In [14], we introduced the first Aeppli-Chern class on compact complex manifolds, and proved that the $(1,1)$ curvature form of the Levi-Civita connection represents the first Aeppli-Chern class which is a natural link between Riemannian geometry and complex geometry. In this paper, we study the geometry of compact complex manifolds with Levi-Civita Ricci-flat metrics and classify minimal complex surfaces with Levi-Civita Ricci-flat metrics. More precisely, we show that minimal complex surfaces admitting Levi-Civita Ricci-flat metrics are Kähler Calabi-Yau surfaces and Hopf surfaces.

研究动机与目标

• 建立通过 Levi-Civita 联络的黎曼几何与非凯勒 Hermitian 流形上复几何之间的几何联系。
• 研究紧致复流形（尤其是极小复曲面）上 Levi-Civita Ricci-flat Hermitian 度量的存在性。
• 对 admits 此类度量的极小复曲面进行分类，将卡拉比-丘定理推广至非凯勒设定。
• 在对角霍普夫曲面上显式构造 Levi-Civita Ricci-flat 度量，以支持其存在性的更广泛猜想。

提出的方法

• 引入首个 Aeppli-Chern 类 $ c_1^{ ext{AC}}(X) $，即由 Levi-Civita 联络曲率的 $(1,1)$-形式所代表的上同调类。
• 利用恒等式 $ \text{Ric}( ext{LC}) = \text{Ric}( ext{Chern}) - \frac{1}{2}(\bar\theta \bar\theta^* + \theta \theta^*) $，将 Levi-Civita Ricci 曲率与 Chern-Ricci 曲率及度量伴随算子联系起来。
• 应用刻画 $ \text{Ric}( ext{LC})(\text{LC}) = 0 $ 当且仅当 $ \text{Ric}( ext{Chern}) = \frac{1}{2}(\bar\theta \bar\theta^* + \theta \theta^*) $，其中 $ \theta = \bar\theta = \text{Ric}(/text{LC}) $，以推导必要条件。
• 利用 Kodaira-Enriques 对极小复曲面的分类，分析在 $ c_1^{ ext{AC}}(X) = 0 $ 条件下的可能候选者。
• 在对角霍普夫流形上构造扰动度量 $ \rho_g = \rho_0 - \frac{1}{n} \sqrt{-1} \partial\bar\partial \log|z|^2 $，以显式实现 Levi-Civita Ricci-flatness。
• 运用 Gauduchon 度量技巧与曲率积分，排除 Inoue 与 Kodaira 曲面上的 Levi-Civita Ricci-flatness。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些极小复曲面 admits 一个 Hermitian 度量，使得 Levi-Civita 联络的 Ricci 曲率为零？
• RQ2 首个 Aeppli-Chern 类 $ c_1^{ ext{AC}}(X) $ 的消失是否意味着 Levi-Civita Ricci-flat Hermitian 度量的存在？
• RQ3 是否可以在霍普夫曲面上构造 Levi-Civita Ricci-flat 度量？它们是否存在于所有此类曲面上？
• RQ4 为何 Inoue 与 Kodaira 曲面尽管满足 $ c_1(X) = c_1^{ ext{BC}}(X) = c_1^{ ext{AC}}(X) = 0 $，却无法支持 Levi-Civita Ricci-flat 度量？
• RQ5 在非凯勒几何中，Levi-Civita Ricci 曲率与 Chern-Ricci 曲率有何不同？其控制方程为何？

主要发现

• admits Levi-Civita Ricci-flat Hermitian 度量的极小复曲面恰好为凯勒-卡拉比-丘曲面（Enriques、双椭圆、K3 和 2-环面）与霍普夫曲面。
• 首个 Aeppli-Chern 类 $ c_1^{ ext{AC}}(X) $ 由 Levi-Civita 联络曲率的 $(1,1)$-形式所表示，为黎曼几何与复几何之间提供了自然联系。
• 对于对角霍普夫曲面，度量 $ \omega_g = \omega_0 - \frac{1}{n}\sqrt{-1}\partial\bar\partial\log|z|^2 $ 被显式证明为 Levi-Civita Ricci-flat。
• Levi-Civita Ricci-flat 条件 $ \mathfrak{Ric}(\omega) = 0 $ 等价于 $ \text{Ric}(\omega) = \frac{1}{2}(\partial\partial^*\omega + \bar\partial\bar\partial^*\omega) $，这是一个非椭圆 PDE 系统。
• Inoue 与 Kodaira 曲面不 admit Levi-Civita Ricci-flat 度量，因为其上任意 Gauduchon 度量的总 Ricci 曲率积分均为负，与所需恒等式矛盾。
• 本文猜想所有霍普夫曲面均支持 Levi-Civita Ricci-flat 度量，尽管仅对角情形被显式构造。