[论文解读] Minimal dimension faithful linear representations of common finitely presented groups

J. O. Button|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文确定了在复数域和正特征域上，有限生成群（包括右角Artin群和自由-循环群）的忠实线性表示的最小维数。证明了Gersten的自由-循环群在ℂ上不存在维数≤4的忠实线性表示，且在正特征域上不存在任何维数的忠实表示。

ABSTRACT

For various finitely presented groups, including right angled Artin groups and free by cyclic groups, we investigate what is the smallest dimension of a faithful linear representation. This is done both over C and over fields of positive characteristic. In particular we show that Gersten's free by cyclic group has no faithful linear representation of dimension 4 or less over C, but has no faithful linear representation of any dimension over fields of positive characteristic.

研究动机与目标

• 确定各种有限生成群的忠实线性表示的最小维数。
• 分析右角Artin群和自由-循环群在不同域上的表示理论。
• 研究Gersten的自由-循环群是否在复数域和正特征域上存在忠实线性表示。
• 在不同代数设定下建立忠实表示的维数界和非存在性结果。

提出的方法

• 运用表示论技术分析有限生成群的结构。
• 利用群的表示式和线性表示的性质，推导可能维数的约束。
• 应用线性代数和域论的结果，研究在ℂ和正特征域上的表示。
• 分析群在向量空间上的作用，以确定忠实性和维数最小性。
• 利用已知的残有限性和线性性结果，排除低维表示的可能性。
• 使用反证法证明在特定设定下忠实表示的非存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gersten的自由-循环群在复数域上的忠实线性表示的最小维数是多少？
• RQ2 Gersten的自由-循环群是否在正特征域上存在任何忠实线性表示？
• RQ3 右角Artin群与其他有限生成群的最小忠实表示维数如何比较？
• RQ4 群的何种结构性质会阻止其在低维中具有忠实线性表示？
• RQ5 在ℂ与正特征域上，群的表示理论是否存在根本性差异？

主要发现

• Gersten的自由-循环群在复数域上不存在维数4或更小的忠实线性表示。
• 该群在正特征域上不存在任何维数的忠实线性表示。
• 右角Artin群被证明具有忠实线性表示，但本文未完全分类其最小维数。
• 本研究在ℂ与正特征域上清晰区分了同一群的表示行为。
• 结果表明，某些群尽管是有限生成的，但在正特征域上并非线性。
• 本文为Gersten群在正特征域上提供了完整的障碍结果，证明其在所有维数上均非线性。