[论文解读] Minimal volume entropy and fiber growth

Ivan Babenko, Stéphane Sabourau|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文確立了有限單純複形的最小體積熵為正或零的拓撲條件，利用映射到低維複形時纖維基本群的纖維增長性質。論文證明了存在有限單純複形，其單純體積為零但最小體積熵可任意大，從而對關於單純體積與最小體積熵之間關係的長期疑問提供了否定答案。

ABSTRACT

This article deals with topological assumptions under which the minimal volume entropy of a closed manifold $M$, and more generally of a finite simplicial complex $X$, vanishes or is positive. These topological conditions are expressed in terms of the growth of the fundamental group of the fibers of maps from a given finite simplicial complex $X$ to lower dimensional simplicial complexes $P$. We also give examples of finite simplicial complexes with zero simplicial volume and arbitrarily large minimal volume entropy.

研究动机与目标

• 確定有限單純複形的最小體積熵為正或消失的拓撲條件。
• 研究零單純體積是否意味著零最小體積熵，此問題對閉流形而言長期未解。
• 構造具有零單純體積但正最小體積熵的有限單純複形的顯式例子。
• 將最小體積熵的理解從閉流形推廣至一般的有限單純複形。

提出的方法

• 引入從單純複形映射到低維複形時，纖維基本群的纖維增長條件。
• 基於纖維基本群的均勻指數增長，使用非收縮假設以確保最小體積熵為正。
• 應用比較原則與體積熵半範數，以關聯覆疊與子複形的最小體積熵。
• 利用連通和與循環覆疊，構造單純體積為零但最小體積熵發散的複形。
• 利用在維數 ≥3 時單純體積在連通和下的可加性，證明覆疊中最小體積熵的正性。
• 使用體積熵半範數與穩定化過程，分析最小體積熵的漸近行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種拓撲條件下，有限單純複形的最小體積熵會消失或保持為正？
• RQ2 有限單純複形是否可能具有零單純體積但正最小體積熵？
• RQ3 零單純體積的閉流形的最小體積熵是否必然為零？
• RQ4 映射到低維複形時，纖維基本群的增長如何影響最小體積熵？
• RQ5 能否構造出單純體積為零但最小體積熵可任意大的複形例子？

主要发现

• 存在有限單純複形，其單純體積為零但最小體積熵可任意大，從而以否定方式回答了一個關鍵問題。
• 若複形的基本群滿足與纖維子群中均勻指數增長相關的非收縮條件，則其最小體積熵為正。
• 對於構造的複形 $X_n = \bigvee_{i=1}^n X$，其最小體積熵滿足 $\omega(X_n)^2 = n \cdot \omega(X)^2$，因此當 $n \to \infty$ 時發散。
• 連通和 $Z_n = X_n \# \mathbb{T}^m$ 的最小體積熵滿足 $\omega(Z_n) \geq \omega(X_n)$，因此即使 $\|Z_n\|_\Delta = 0$，其最小體積熵亦發散。
• 該構造可推廣至偶數維 $m=2k$，透過邊界具有流形的連通和與循環群作用實現。
• 在 $d$-重覆蓋 $\widehat{X}_n$ 中，其最小體積熵滿足 $\omega(\widehat{X}_n) \leq d^{1/m} \omega(X_n)$，且因 $\omega(M_n) \to \infty$，故 $\omega(X_n)$ 亦發散。