[论文解读] Minimizing polynomial functions on quantum computers

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出将计算代数几何与绝热量子计算（AQC）相结合的创新方法，展示了如何利用格罗布纳基（Groebner bases）和多项式系统求解来建模和分析量子退火过程。论文提出了针对二值优化、因数分解和编译的实用型量子就绪算法，使用伊辛哈密顿量（Ising Hamiltonians），并引入一种在量子计算机上计算格罗布纳基的新方法，通过莫尔斯理论将之与AQC中的非退化临界点联系起来。

ABSTRACT

This expository paper reviews some of the recent uses of computational algebraic geometry in classical and quantum optimization. The paper assumes an elementary background in algebraic geometry and adiabatic quantum computing (AQC), and concentrates on presenting concrete examples (with Python codes tested on a quantum computer) of applying algebraic geometry constructs: solving binary optimization, factoring, and compiling. Reversing the direction, we also briefly describe a novel use of quantum computers to compute Groebner bases for toric ideals. We also show how Groebner bases play a role in studying AQC at a fundamental level within a Morse theory framework. We close by placing our work in perspective, by situating this leg of the journey, as part of a marvelous intellectual expedition that began with our ancients over 4000 years ago.

研究动机与目标

• 通过实用且可计算的方法，弥合代数几何与绝热量子计算之间的鸿沟。
• 展示如何利用代数几何时构将多项式优化问题编码并求解于量子退火器之上。
• 提出一种用于计算环面理想（toric ideals）格罗布纳基的新量子算法。
• 建立格罗布纳基与AQC哈密顿量中非退化临界点之间的理论联系。
• 提供基于代数几何的、可访问且经代码验证的量子算法实例。

提出的方法

• 论文利用代数簇与坐标环之间的对偶性，将多项式系统转化为量子力学中的伊辛哈密顿量。
• 应用格罗布纳基计算对多项式系统进行剖分，从而通过量子退火实现高效求解。
• 该方法将AQC中的反交叉（anti-crossings）映射为多项式函数 f(s, λ) 的鞍点，其中 s 为绝热路径参数，λ 为耦合参数。
• 通过计算由 ∂f/∂s 和 ∂f/∂λ 生成的理想之零点集来确定函数的临界点，并利用Hessian行列式验证其非退化性。
• 通过将该理想与Hessian行列式进行饱和运算，可分离出非退化临界点，这些点在避免AQC中的能级交叉中至关重要。
• 该方法通过在D-Wave量子处理器上运行的Python实现进行了验证，展示了其在真实硬件上的可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地应用代数几何时建模和求解量子退火器上的二值优化问题？
• RQ2 格罗布纳基能否在量子计算机上高效计算，其在量子算法设计中扮演何种角色？
• RQ3 绝热演化哈密顿量中的非退化临界点如何与多项式系统的结构及量子隧穿现象相关联？
• RQ4 莫尔斯理论在利用多项式函数表征AQC中反交叉现象时发挥何种作用？
• RQ5 能否通过代数几何的视角，特别是理想及其零点集，分析AQC的基本动力学？

主要发现

• 论文成功利用代数几何时构将二值优化问题编码为伊辛哈密顿量，从而实现量子退火求解。
• 通过格罗布纳基计算对多项式方程组进行剖分，将问题简化为可在量子处理器上求解的形式。
• 该方法表明，AQC中的反交叉对应于多项式函数 f(s, λ) 的鞍点，其通过梯度为零且Hessian行列式非零来识别。
• 作者证明，可利用格罗布纳基与理想饱和来检测AQC中的非退化临界点，从而为避免能级交叉提供计算判据。
• 理论分析证实，临界点处Hessian行列式非零可确保非退化性，这对绝热演化至关重要。
• 论文提供了用于格罗布纳基计算与量子退火映射的可运行Python代码，并在真实D-Wave硬件上测试，验证了该方法在实践中的有效性。