[论文解读] Mixed Determinants and the Kadison-Singer problem

Jonathan Leake, Mohan Ravichandran|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文将 Marcus、Spielman 和 Srivastava 的交错多项式方法应用于 Anderson 对 Kadison-Singer 问题的铺砌公式，利用混合行列式推导出改进的铺砌估计。证明了任意对角线元素均为 1/2 的投影矩阵可进行非平凡的 4-铺砌，显著优于先前的 12-铺砌界限；并表明对角线元素小于 1/4 的矩阵可实现 2-铺砌，与近期结果一致。

ABSTRACT

We adapt the arguments of Marcus, Spielman and Srivastava in their proof of the Kadison-Singer problem to prove improved paving estimates. Working with Anderson's paving formulation of Kadison-Singer instead of Weaver's vector balancing version, we show that the machinery of interlacing polyomials due to Marcus, Spielman and Srivastava works in this setting as well. The relevant expected characteristic polynomials turn out to be related to the so called "mixed determinants" that have been carefully studied by Borcea and Branden. This technique allows us to show that any projection with diagonal entries strictly less than $\frac{1}{4}$ can be two paved, matching recent results of Bownik, Casazza, Marcus and Speegle, though our estimates are asymptotically weaker. We also show that any projection with diagonal entries at most $\frac{1}{2}$ can be four paved, yielding improvements over currently known estimates. We also relate the problem of finding optimal paving estimates to bounding the root intervals of a natural one parameter deformation of the characteristic polynomial of a matrix that turns out to have some remarkable combinatorial properties.

研究动机与目标

• 将 Marcus、Spielman 和 Srivastava 的交错多项式方法扩展至 Anderson 对 Kadison-Singer 问题的铺砌公式。
• 为对角线有界且为正半定收缩的矩阵推导更紧致的铺砌界限。
• 确立对角线元素为 1/2 的投影矩阵可实现非平凡的 4-铺砌，优于原始 MSS 结果中已知的 12-铺砌估计。
• 证明任意对角线元素 ≤1/4 的 PSD 收缩矩阵可实现 2-铺砌，与 Bownik 等人近期结果一致。

提出的方法

• 将交错多项式框架适配至 Anderson 的铺砌公式，而非 Weaver 的向量平衡版本。
• 在铺砌分析中使用混合行列式——此前由 Borcea 和 Branden 研究过——作为期望特征多项式的表达形式。
• 应用障碍函数技术以界定特征多项式单参数变形的根。
• 为从 r-特征多项式导出的多仿射实稳定多项式推导广义根位移界限。
• 建立多仿射多项式的对称加法卷积保持实稳定性的性质，并实现根界限。
• 依赖于 r-铺砌中期望特征多项式对应于混合行列式构造的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 交错多项式方法能否成功应用于 Anderson 的铺砌公式，而非 Weaver 的版本？
• RQ2 对角线元素为 1/2 的投影矩阵的最优铺砌界限是什么？能否在已知的 12-铺砌估计基础上进一步改进？
• RQ3 混合行列式与障碍函数的工具能否为小对角线元素矩阵的 2-铺砌提供更紧致的界限？
• RQ4 对称加法卷积的多变量根位移界限是否适用于铺砌设定中的 r-特征多项式？
• RQ5 r-特征多项式在将 MSS 方法推广至更广泛的实稳定多项式类中起什么作用？

主要发现

• 任意对角线元素均为 1/2 的投影矩阵可实现非平凡的 4-铺砌，优于原始 MSS 结果中已知的 12-铺砌界限。
• 对于任意 r ≥ 2 且 α ≤ (r−1)²/r²，任意对角线元素 ≤ α 的 PSD 收缩矩阵均可实现 r-铺砌，且块范数有界于 ( √(1/r − α/(r−1)) + √α )²。
• 当 α < (r−1)²/r² 时，该界限严格小于 1，确保铺砌为非平凡。
• 该结果与 Bownik、Casazza、Marcus 和 Speegle 对 α < 1/4 的 2-铺砌界限一致，证实与近期进展的一致性。
• 本文证明了在 r-铺砌设定中，期望特征多项式为混合行列式，从而与 Borcea 和 Branden 的前期工作建立联系。
• 论文识别出特征多项式的自然单参数变形，其根区间是优化铺砌估计的关键。