[论文解读] Models of Type Theory with Strict Equality

Paolo Capriotti|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 14

一句话总结

本文提出了一种两层类型理论的语义框架，通过在马丁-洛夫类型理论中引入原始严格等价性，扩展了同伦类型理论中的常规等价性。该研究建立了保守性结果，并展示了其在构造半单纯类型及基础 $(\infty,1)$-范畴方面的应用，为同伦类型理论中的开放问题提供了部分解决方案。

ABSTRACT

This thesis introduces the idea of two-level type theory, an extension of Martin-Löf type theory that adds a notion of strict equality as an internal primitive. A type theory with a strict equality alongside the more conventional form of equality, the latter being of fundamental importance for the recent innovation of homotopy type theory (HoTT), was first proposed by Voevodsky, and is usually referred to as HTS. Here, we generalise and expand this idea, by developing a semantic framework that gives a systematic account of type formers for two-level systems, and proving a conservativity result relating back to a conventional type theory like HoTT. Finally, we show how a two-level theory can be used to provide partial solutions to open problems in HoTT. In particular, we use it to construct semi-simplicial types, and lay out the foundations of an internal theory of $(\infty, 1)$-categories.

研究动机与目标

• 为带有严格等价性的两层类型理论中的类型构造子发展系统化的语义框架。
• 建立一个保守性结果，将两层类型理论与标准类型理论（如 HoTT）联系起来。
• 利用两层框架为同伦类型理论中的开放问题提供部分解决方案。
• 为类型理论中 $(\infty,1)$-范畴的内部理论奠定基础。

提出的方法

• 通过引入严格等价性作为独立的类型理论原始概念，扩展马丁-洛夫类型理论。
• 发展一个系统化的语义框架，以统一解释两层系统中的类型构造子。
• 采用保守性论证，表明添加严格等价性不会破坏标准 HoTT 中的已有结果。
• 将两层系统应用于构造半单纯类型，这些类型在标准 HoTT 中难以形式化。
• 通过严格与弱等价性的区分，为建立 $(\infty,1)$-范畴的内部理论奠定基础。
• 运用类型理论、范畴论和同伦论的技术，以确保一致性和表达力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地形式化并语义上证明带有严格等价性和弱等价性的两层类型理论？
• RQ2 两层类型理论与标准同伦类型理论在保守性方面有何关系？
• RQ3 两层类型理论能否用于构造在标准 HoTT 中无法实现的半单纯类型？
• RQ4 严格等价性与弱等价性的区分如何支持 $(\infty,1)$-范畴的内部发展？
• RQ5 添加严格等价性为类型论构造提供了哪些基础优势？

主要发现

• 发展了一个语义框架，系统地解释了带有严格等价性的两层类型理论中的类型构造子。
• 证明了保守性结果，表明两层类型理论不会破坏标准同伦类型理论中的已有结论。
• 该框架使得半单纯类型的构造成为可能，而这些类型在标准 HoTT 中原本难以形式化。
• 本文为利用两层结构建立 $(\infty,1)$-范畴的内部理论奠定了基础。
• 严格等价性与弱等价性之间的区分提供了一项实用工具，用于解决同伦类型理论中的开放问题。