[论文解读] Modified teleparallel theories of gravity

Sebastián Bahamonde, Boehmer, Christian G.+1 more|UCL Discovery (University College London)|Aug 20, 2015

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文提出了一种依赖于扭张量标量 $T$ 和边界项 $B$ 的修正平行引力理论，表明该理论的规范等价于 $f(R)$ 引力，且为特殊情形。关键结果是：该理论是在局部洛伦兹变换下不变的类中唯一满足二阶场方程的模型，从而解决了 $f(T)$ 引力中非不变性和高阶导数的问题。

ABSTRACT

We investigate modified theories of gravity in the context of teleparallel geometries. It is well known that modified gravity models based on the torsion scalar are not invariant under local Lorentz transformations while modifications based on the Ricci scalar are. This motivates the study of a model depending on the torsion scalar and the divergence of the torsion vector. We derive the teleparallel equivalent of $f(R)$ gravity as a particular subset of these models and also show that this is the unique theory in this class that is invariant under local Lorentz transformation. Furthermore one can show that $f(T)$ gravity is the unique theory admitting second order field equations.

研究动机与目标

• 为解决 $f(T)$ 引力中缺乏局部洛伦兹不变性的问题，其根源在于扭张量标量 $T$ 不满足局部洛伦兹变换下的不变性。
• 构建一个依赖于扭张量标量 $T$ 和边界项 $B$ 的修正平行引力理论的广义类。
• 识别该类中在局部洛伦兹变换下不变的子集。
• 确定该类中唯一能产生二阶场方程的理论，以确保更好的物理一致性。

提出的方法

• 构建一个依赖于扭张量标量 $T$ 和边界项 $B$ 的广义作用量，其中拉格朗日密度为 $f(T,B)$。
• 通过对方程关于 tetrad 场 $e^a_ u $ 的变分，推导场方程，分别处理 $T$ 和 $B$ 的变分。
• 利用威特森堡连接和 tetrad 形式，将无曲率、平坦时空几何中的扭率表示为引力场。
• 当 $f(T,B) = f(T) + \text{边界项}$ 时，识别出 $f(R)$ 引力的平行等价理论，表明其在平行框架下与 $f(R)$ 引力等价。
• 通过计算 $T$ 和 $B$ 在局部洛伦兹变换下的变分，分析洛伦兹不变性，证明仅当 $B$ 具有特定依赖关系时，$f(T,B)$ 模型才保持不变。
• 通过分析由作用量变分导出的场方程结构，证明 $f(T)$ 引力是该类中唯一产生二阶场方程的理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种结合扭张量标量 $T$ 和边界项 $B$ 的修正平行引力模型，以恢复局部洛伦兹不变性？
• RQ2 $f(R)$ 引力的平行等价理论是否可作为 $f(T,B)$ 理论的子集被恢复，其条件是什么？
• RQ3 在该类中，唯一满足局部洛伦兹变换不变性的 $f(T,B)$ 模型是什么？
• RQ4 为何 $f(T)$ 引力是该类中唯一产生二阶场方程的理论？
• RQ5 在局部洛伦兹变换下，$T$ 和 $B$ 的变分如何影响理论的物理一致性？

主要发现

• 在 $f(T,B)$ 理论中，$f(R)$ 引力的平行等价理论作为特定子集被恢复，其中边界项 $B$ 确保了在平行框架下与 $f(R)$ 引力的等价性。
• $f(T,B)$ 模型是该类中唯一在局部洛伦兹变换下不变的理论，解决了 $f(T)$ 引力中的一个关键问题。
• 在所有 $f(T,B)$ 模型中，仅 $f(T)$ 引力产生二阶场方程，使其成为该类中唯一具有稳定动力学的物理可行理论。
• 在局部洛伦兹变换下，边界项 $B$ 的变分以一种能抵消非不变项的方式贡献于场方程，仅在特定的 $f(T,B)$ 形式下确保洛伦兹不变性。
• 由 $f(T,B)$ 作用量导出的场方程为二阶，确认 $f(T)$ 引力是该类中唯一具有此性质的理论，因为高阶导数由于扭张量和边界项的结构而消失。
• 最终的 $f(T,B)$ 场方程以 $f_B$ 的协变导数、扭张量和超势 $S_a{}^{ ueta}$ 表示，完整变分结果构成一个一致的二阶动力系统。