[论文解读] Modified weak multiplier Hopf algebras

Alfons Van Daele|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过在源像 $B$ 的乘子代数中的可逆元 $u, v$ 对正则弱双乘子霍普夫代数进行变形，其条件为 $E(vu \otimes 1)E = E$。经修改的对角映射 $Δ' = (u \otimes 1)Δ(\cdot)(v \otimes 1)$ 生成一个新的正则弱双乘子霍普夫代数，其修改后的对极、源/目标映射及典范幂等元均有显式公式。该构造推广了有限维弱霍普夫代数中的已知扭变，并产生新例子，以及一个不源自弱双乘子霍普夫代数的新正则双乘子霍普夫胚丛。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a regular weak multiplier Hopf algebra. Denote by $E$ the canonical idempotent of $(A,Δ)$ and by $B$ the image of the source map. Recall that $B$ is a non-degenerate algebra, sitting nicely in the multiplier algebra $M(A)$ of $A$ so that also $M(B)$ can be viewed as a subalgebra of $M(A)$. Assume that $u,v$ are invertible elements in $M(B)$ so that $E(vu\otimes 1)E=E$. This last condition is obviously fulfilled if $u$ and $v$ are each other inverses, but there are also other cases. Now modify $Δ$ and define $Δ'(a)=(u\otimes 1)Δ(a)(v\otimes 1)$ for all $a \in A$. We show in this paper that $(A,Δ')$ is again a regular weak multiplier Hopf algebra and we obtain formulas for the various data of $(A,Δ')$ in terms of the data associated with the original pair $(A,Δ)$. In the case of a finite-dimensional weak Hopf algebra, the above deformation is a special case of the twists as studied by Nikshych and Vainerman. It is known that any regular weak multiplier Hopf algebra gives rise in a natural way to a regular multiplier Hopf algebroid. This result applies to both the original weak multiplier Hopf algebra $(A,Δ)$ and the modified version $(A,Δ')$. However, the same method can be used to associate another regular multiplier Hopf algebroid to the triple $(A,Δ,Δ')$. This turns out to give an example of a regular multiplier Hopf algebroid that does not arise from a regular weak multiplier Hopf algebra although the base algebra is separable Frobenius.

研究动机与目标

• 将弱霍普夫代数中的扭变概念推广至正则弱双乘子霍普夫代数的框架。
• 通过使用 $ u, v \in M(B) $ 的变形，从一个已有的正则弱双乘子霍普夫代数 $ (A, \Delta) $ 构造一个新的正则弱双乘子霍普夫代数 $ (A, \Delta') $，其中 $ B $ 是源映射的像。
• 以原始数据的形式，推导修改后对极 $ S' $、源映射 $ \varepsilon_s' $、目标映射 $ \varepsilon_t' $ 和典范幂等元 $ E' $ 的显式公式。
• 证明在条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ 下，修改后的对偶对 $ (A, \Delta') $ 仍为正则弱双乘子霍普夫代数，该条件推广了逆元条件。

提出的方法

• 对 $ a \in A $，定义一个新的对角映射 $ \Delta'(a) = (u \otimes 1)\Delta(a)(v \otimes 1) $，其中 $ u, v $ 是乘子代数 $ M(B) $ 中的可逆元，$ B $ 为源像。
• 证明条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ 确保 $ \Delta' $ 是良好定义的同态，并保持弱双乘子霍普夫代数结构的正则性。
• 证明修改后的典范幂等元为 $ E' = (u \otimes 1)E(v \otimes 1) $，其刻画了修改后典范映射 $ T_1' $ 和 $ T_2' $ 的像。
• 利用典范幂等元 $ E $ 和对角映射 $ \Delta $ 的性质，推导出修改后对极 $ S' $、源映射 $ \varepsilon_s' $ 和目标映射 $ \varepsilon_t' $ 关于原始对极 $ S $、$ u $ 和 $ v $ 的显式表达式。
• 从三元组 $ (A, \Delta, \Delta') $ 构造一个新的正则双乘子霍普夫胚丛，证明其不源自正则弱双乘子霍普夫代数，即使其基代数是可分弗罗贝尼乌斯代数。
• 研究特殊情况，如 $ u $ 为酉元且 $ v = u^* $ 时的 $ \ast $-代数，以及当 $ u, v $ 属于 $ M(B) $ 的中心时，此时有 $ E' = E $ 且 $ S' = S $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$ M(B) $ 中的可逆元 $ u, v $ 使得修改后的对角映射 $ \Delta' = (u \otimes 1)\Delta(\cdot)(v \otimes 1) $ 生成正则弱双乘子霍普夫代数？
• RQ2 修改后的对极 $ S' $、源映射 $ \varepsilon_s' $ 和目标映射 $ \varepsilon_t' $ 如何与原始数据 $ (A, \Delta) $ 相关联？
• RQ3 从三元组 $ (A, \Delta, \Delta') $ 构造正则双乘子霍普夫胚丛，是否能产生不源自正则弱双乘子霍普夫代数的例子，即使基代数是可分弗罗贝尼乌斯代数？
• RQ4 这种变形与有限维弱霍普夫代数中已知的扭变构造（特别是 [N-V] 中研究的）有何关系？
• RQ5 是否可将此变形推广至更一般的元素 $ U, V \in M(A \otimes A) $，使得 $ \Delta'(a) = U\Delta(a)V $ 仍定义一个正则弱双乘子霍普夫代数？

主要发现

• 若 $ u, v \in M(B) $ 为可逆元且满足 $ E(vu \otimes 1)E = E $，则修改后的对偶对 $ (A, \Delta') $ 为正则弱双乘子霍普夫代数，该条件推广了 $ u $ 与 $ v $ 互为逆元的情形。
• 修改后的典范幂等元为 $ E' = (u \otimes 1)E(v \otimes 1) $，其刻画了修改后典范映射 $ T_1' $ 和 $ T_2' $ 的像，确保共结合性与正则性。
• 修改后的对极 $ S' $、源映射 $ \varepsilon_s' $ 和目标映射 $ \varepsilon_t' $ 均以原始对极 $ S $、$ u $ 和 $ v $ 的显式形式表达，保持代数结构不变。
• 当 $ u $ 与 $ v $ 属于 $ M(B) $ 的中心时，条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ 强制 $ v = u^{-1} $，故 $ E' = E $ 且 $ S' = S $，但除非 $ u = v = 1 $，否则 $ \Delta' \neq \Delta $。
• 可从三元组 $ (A, \Delta, \Delta') $ 构造一个新的正则双乘子霍普夫胚丛，其不源自正则弱双乘子霍普夫代数，即使其基代数是可分弗罗贝尼乌斯代数。
• 该构造推广了有限维弱霍普夫代数中的已知扭变，并提示在缺乏积分的情形下，为研究对偶构造与积分提供更广泛的框架。