[论文解读] Modular affine Hecke category and regular centralizer

Roman Bezrukavnikov, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2022

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过利用朗兰兹对偶群 $G^\vee_\Bbbk$ 的通用中心化子，以一种新颖的方式实现了索eger双模，从而为在正特征域上重新组合群的仿射旗流形上的倾斜 perverse 范畴提供了组合描述。它建立了自由单调 perverse 范畴与索eger双模之间的等价关系，使得不可约倾斜 sheaf 的特征公式可用 $\ell$-Kazhdan–Lusztig 多项式表达——将经典索eger理论推广到了正特征情形。

ABSTRACT

In this paper we provide a "combinatorial" description of the category of tilting perverse sheaves on the affine flag variety of a reductive algebraic group, and its free-monodromic variant, with coefficients in a field of positive characteristic. This provides a replacement for the familiar "Soergel theory" for characteristic-0 coefficients, and the second step in our project towards the construction of an equivalence of categories relating the two natural geometric realizations of the associated affine Hecke algebra in the case of positive-characteristic coefficients.

研究动机与目标

• 为仿射旗流形发展索eger理论的正特征类比，将经典的 $\mathbb{C}$-系数替换为代数闭域 $\Bbbk$ 的系数，其特征为 $\ell > 0$。
• 在通用覆盖 $\widetilde{\mathrm{Fl}}_G$ 上构造一个自由单调 perverse sheaf 的范畴，以建模模形式的 tame ramified 局部朗兰兹对应中构造侧的范畴。
• 建立该 perverse sheaf 范畴与通过朗兰兹对偶群 $G^\vee_\Bbbk$ 的通用中心化子表示实现的索eger双模范畴之间的等价关系。
• 利用 $\ell$-Kazhdan–Lusztig 多项式推导出仿射旗流形上不可约倾斜 perverse sheaf 的特征公式，从而将特征零与有限旗流形上的已知结果推广。

提出的方法

• 不通过多项式环上的分次双模实现索eger双模，而是通过朗兰兹对偶群 $G^\vee_\Bbbk$ 的通用中心化子的表示实现，以捕捉几何 Satake 对应与仿射 Weyl 群结构。
• 将 $\widetilde{\mathrm{Fl}}_G$ 上的自由单调 perverse sheaf 范畴构造为在幂零理想拟系统上的构造层有界导出范畴的完成。
• 通过商 $R^\wedge_A / (\mathfrak{m}_A)^n \cdot R^\wedge_A$ 的投射极限构造，建模完成范畴 $\widehat{D}(R^\wedge_A)$，确保与 t-结构的相容性。
• 应用 Verdier 与 Serre 商范畴形式化，将 Steinberg 流形与完成旗流形上的层的导出范畴联系起来，同时保持 t-结构。
• 利用沿分层的 $j_!$ 与 $j_*$ 的上推函子的 t-正合性，将有限型分层上的 t-结构条件提升至完成情形。
• 通过一个降维函子建立 $\widetilde{\mathrm{Fl}}_G$ 上倾斜 perverse sheaf 范畴与索eger双模范畴之间的等价关系，从而将混合与普通 perverse sheaf 范畴联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将索eger理论推广到仿射旗流形的正特征系数情形，其中由于非半单性，经典构造会失效？
• RQ2 在正特征域上，仿射 Weyl 群设定下，索eger双模的正确范畴实现是什么？该实现需结合朗兰兹对偶群的几何结构。
• RQ3 能否以组合方式用 $\ell$-Kazhdan–Lusztig 多项式表达仿射旗流形上不可约倾斜 perverse sheaf 的特征公式？
• RQ4 如何利用拟对象与投射极限描述 Steinberg 流形上层的完成导出范畴？这与 t-结构有何关系？
• RQ5 在正特征设定下，通用中心化子在实现索eger双模中起什么作用？它与几何 Satake 对应有何关联？

主要发现

• 本文构造了 $\widetilde{\mathrm{Fl}}_G$ 上自由单调倾斜 perverse sheaf 范畴与通过 $G^\vee_\Bbbk$ 的通用中心化子表示实现的索eger双模范畴之间的等价关系，为索eger理论提供了正特征类比。
• 证明了 $\mathrm{Fl}_G$ 上不可约倾斜 perverse sheaf 的特征由 $\ell$-Kazhdan–Lusztig 多项式给出，将特征零情形下的经典结果推广。
• 完成导出范畴 $\widehat{D}(R^\wedge_A)$ 被识别为有限生成 $R^\wedge_A / (\mathfrak{m}_A)^n$-模有界导出范畴的投射极限，且保持 t-结构。
• 完成范畴上的 t-结构通过有界导出范畴中对象的投射系统表征：$\mathscr{F} \in {}^p\widehat{D}_{\mathcal{S}}(X\setminus A,\Bbbk)^{\leq 0}$ 当且仅当其同构于 ${}^pD^b_{\mathcal{S}}(X,\Bbbk)^{\leq 0}$ 中对象的投射极限。
• 通过完成过程构造了连接混合与普通 perverse sheaf 的降维函子，表明这两个范畴通过相同的索eger理论框架相互关联。
• 本研究为构造模形式的 tame ramified 局部朗兰兹等价关系奠定了基础，将 $\mathrm{Fl}_G$ 上的 Iwahori-等变 perverse sheaf 与 $G^\vee_\Bbbk$ 的 Steinberg 流形上的凝聚层联系起来。