[论文解读] Modular affine Hecke category and regular unipotent centralizer

Roman Bezrukavnikov, Simon Riche+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文建立了在正特征域上，半单代数群中正则幂幺元的中心化子的表示范畴与朗兰兹对偶群的仿射旗簇上某类 Iwahori-等变 perverse 她层的导出范畴的商类之间的几何等价性。该结果是 Soergel 的 Endomorphismensatz 在模形式下的类比，通过 perverse 她层的 Serre 商类构造，并与幂零锥及中心化子结构的几何密切相关。

ABSTRACT

In this paper we provide, under some mild explicit assumptions, a geometric description of the category of representations of the centralizer of a regular unipotent element in a reductive algebraic group in terms of perverse sheaves on the Langlands dual affine flag variety. This equivalence is suggested and motivated by the "geometric Langlands" philosophy, and is used in later work to construct equivalences of categories relating various geometric incarnations of the affine Hecke algebra of the given reductive group.

研究动机与目标

• 建立仿射 Hecke 代数在正特征下的几何朗兰兹等价性的模形式变体。
• 以朗兰兹对偶仿射旗簇上的 perverse 她层为工具，对正则幂幺元的中心化子的表示范畴给出几何描述。
• 为未来构造构造层与凝聚层导出范畴之间的等价性奠定基础，该等价性类比于 Soergel 的 Struktursatz。
• 通过 Iwahori-等变 perverse 她层，将几何 Satake 等价性和 Soergel 的 Endomorphismensatz 推广至模形式设置。

提出的方法

• 通过商去除具有正维数支集的简单对象，构造仿射旗簇 $\mathrm{Fl}_G$ 上 Iwahori-等变 perverse 她层的 Serre 商类范畴 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$。
• 通过卷积的零阶 perverse 上同调，定义 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ 上的张量结构 $\star^{0}_{\mathrm{Iw}}$。
• 利用几何 Satake 等价性，将 $G^\vee_{\Bbbk}$-模与 $\mathrm{Gr}_G$-她层联系起来，并将中心化子 $Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})$ 识别为包含中心 $Z(G^\vee_{\Bbbk})$ 的子群。
• 建立代数同构 $\operatorname{End}_{\mathsf{P}^{0}_{\mathrm{Iw}}}(\mathscr{Z}^{0}(V)) \cong \operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})}(V)$，表明 tilting 模的像的自同态代数同其 $Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})$-不变子模的自同态代数同构。
• 利用坐标环 $\mathscr{O}(\mathcal{N}_{G^\vee_{\Bbbk}})$ 上由 $\mathbb{G}_m$-伸缩作用诱导的分次结构，证明当 $V$ 为不可约时，$\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})}(V)$ 为局部环，从而推出 $\mathscr{Z}^{0}(V)$ 的不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将仿射 Hecke 代数的几何朗兰兹等价性推广至正特征系数？
• RQ2 是否存在一种几何实现方式，将正则幂幺元的中心化子的表示范畴通过朗兰兹对偶仿射旗簇上的 perverse 她层来描述？
• RQ3 在模是不可约时，所提出函子下 tilting 模的像的自同态代数是否仍为局部环？
• RQ4 中心 $Z(G^\vee_{\Bbb{k}})$ 的作用如何与中心化子 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$ 的结构相关联？
• RQ5 能否利用范畴 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ 的结构，在模形式设置下构造出构造层与凝聚层导出范畴之间的完整等价性？

主要发现

• Iwahori-等变 perverse 她层范畴 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$（模去正维支集）通过 perverse 上同调卷积可赋予明确定义的张量结构 $\star^{0}_{\mathrm{Iw}}$。
• 范畴 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ 与朗兰兹对偶群中正则幂幺元的中心化子 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$ 的有限维表示范畴 $\mathrm{Rep}(Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u}))$ 之间存在张量等价。
• 自同态代数 $\operatorname{End}_{\mathsf{P}^{0}_{\mathrm{Iw}}}(\mathscr{Z}^{0}(V))$ 同构于 $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$，建立了几何结构与表示论结构之间的重要联系。
• 对任意有限维 tilting $G^\vee_{\Bbb{k}}$-模 $V$，其 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$-不变子模的维数等于零权空间 $V_0$ 的维数，从而有 $V^{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})} = V^H$，其中 $H$ 包含 $Z(G^\vee_{\Bbb{k}})$。
• 若 $V$ 为不可约的 tilting $G^\vee_{\Bbb{k}}$-模，则 $\mathscr{Z}^{0}(V)$ 不可约，因为 $\mathbb{G}_m$-分次结构使得 $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$ 为局部环。