[论文解读] Modular affine vertex algebras and baby Wakimoto modules

Tomoyuki Arakawa, Weiqiang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文在正特征下引入了婴儿 Wakimoto 模作为 Wakimoto 模的模形式类比，证明了 Wakimoto-Feigin-Frenkel 同态保持仿射顶点代数的 $p$-中心。关键结果是最高权为 $-\rho$ 的婴儿 Wakimoto 模是不可约的，从而为模仿射李代数在临界水平下的 Mathieu 字符公式提供了顶点代数解释。

ABSTRACT

We develop some basic properties such as $p$-centers of affine vertex algebras and free field vertex algebras in prime characteristic. We show that the Wakimoto-Feigin-Frenkel homomorphism preserves the $p$-centers by providing explicit formulas. This allows us to formulate the notion of baby Wakimoto modules, which in particular provides an interpretation in the context of modular vertex algebras for Mathieu's irreducible character formula of modular affine Lie algebras at the critical level.

研究动机与目标

• 发展正特征下模仿射顶点代数和自由场顶点代数的 $p$-中心理论。
• 证明 Wakimoto-Feigin-Frenkel 同态保持 $p$-中心，从而实现婴儿 Wakimoto 模的构造。
• 以顶点代数表示理论的语言重新表述 Mathieu 对模仿射李代数在临界水平下的不可约字符公式的表达。
• 将不可约模 $\mathfrak{l}(-\rho)$ 实现为一个婴儿 Wakimoto 模。

提出的方法

• 利用正特征下的 $p$-次幂映射，构造仿射顶点代数和自由场顶点代数的 $p$-中心。
• 显式计算 Wakimoto-Feigin-Frenkel 同态在仿射顶点代数 $p$-中心上的限制。
• 将婴儿 Wakimoto 模定义为 Wakimoto-Feigin-Frenkel 同态限制在 $p$-中心元素上的像。
• 通过字符比较证明最高权为 $-\rho$ 的婴儿 Wakimoto 模的不可约性。
• 利用 Steinberg 张量积定理，将 $\mathfrak{l}(-\rho)$ 和 $\mathfrak{l}((p-1)\rho)$ 作为 $\mathfrak{g}$-模相关联。
• 利用 Kostant-Garland $\mathbb{Z}$-形式的泛包络代数，定义 $U = \mathbb{K} \otimes_{\mathbb{Z}} U_{\mathbb{Z}}$ 以适用于模表示理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wakimoto-Feigin-Frenkel 同态在正特征下是否保持仿射顶点代数的 $p$-中心？
• RQ2 能否通过 $p$-中心相容性，将婴儿 Wakimoto 模定义为 Wakimoto 模的模类比？
• RQ3 最高权为 $-\rho$ 的婴儿 Wakimoto 模作为 $\mathfrak{g}$-模是否不可约？
• RQ4 婴儿 Wakimoto 模的不可约性如何与 $\mathfrak{l}(-\rho)$ 的 Mathieu 字符公式相关联？
• RQ5 在正特征下，顶点代数 $V^{\kappa_{c}}(\mathfrak{g})$ 的中心结构如何？

主要发现

• Wakimoto-Feigin-Frenkel 同态保持了仿射顶点代数的 $p$-中心，且给出了其限制的显式公式。
• 婴儿 Wakimoto 模 $\mathfrak{w}(-\rho)$ 作为 $\mathfrak{g}$-模是不可约的，且同构于 $\mathfrak{l}(-\rho)$。
• 模 $\mathfrak{w}(-\rho)$ 的字符为 $\text{ch }\mathfrak{w}(-\rho) = e^{-\rho} \prod_{\alpha \in \Delta_{+}^{\rm re}} \frac{1 - e^{-p\alpha}}{1 - e^{-\alpha}}$，与 Mathieu 的公式一致。
• 婴儿 Wakimoto 模 $\mathfrak{w}(-\rho)$ 的不可约性源于其与 $\mathfrak{l}(-\rho)$ 的字符比较，通过满同态 $\mathfrak{w}(-\rho) \to \mathfrak{l}(-\rho)$ 得到。
• $\mathfrak{l}((p-1)\rho)$ 的字符公式为 $\text{ch }\mathfrak{l}((p-1)\rho) = e^{(p-1)\rho} \prod_{\alpha \in \Delta_{+}^{\rm re}} \frac{1 - e^{-p\alpha}}{1 - e^{-\alpha}}$，由 Steinberg 张量积定理可知其与 $-\rho$ 情况等价。
• $p$-中心与顶点代数中的状态-场对应具有简单相容性，如命题 2.6 所示。