[论文解读] Modular Graph Functions

Eric D’Hoker|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 38被引用 17

一句话总结

本文引入单值椭圆多重 polylogarithm 作为理解模图函数（modular graph functions）的框架——这些函数是环一超弦振幅中出现的非全纯模形式。研究证明，模图函数是单值椭圆多重 zeta 值在椭圆曲线单位元处的取值，且具有有理系数，揭示了其复杂的代数关系源于椭圆 polylogarithm 的恒等式。关键结果是将这些函数系统性地约化为已知的特殊值，包括单值多重 zeta 值的有理倍数。

ABSTRACT

In earlier work we studied features of non-holomorphic modular functions associated with Feynman graphs for a conformal scalar field theory on a two-dimensional torus with zero external momenta at all vertices. Such functions, which we will refer to as modular graph functions, arise, for example, in the low energy expansion of genus-one Type II superstring amplitudes. We here introduce a class of single-valued elliptic multiple polylogarithms, which are defined as elliptic functions associated with Feynman graphs with vanishing external momenta at all but two vertices. These functions depend on a coordinate, $ζ$, on the elliptic curve and reduce to modular graph functions when $ζ$ is set equal to $1$. We demonstrate that these single-valued elliptic multiple polylogarithms are linear combinations of multiple polylogarithms, and that modular graph functions are sums of single-valued elliptic multiple polylogarithms evaluated at the identity of the elliptic curve, in both cases with rational coefficients. This insight suggests the many interrelations between modular graph functions (a few of which were established in earlier papers) may be obtained as a consequence of identities involving multiple polylogarithms, and explains an earlier observation that the coefficients of the Laurent polynomial at the cusp are given by rational numbers times single-valued multiple zeta values.

研究动机与目标

• 建立环一超弦振幅中模图函数的统一框架。
• 引入单值椭圆多重 polylogarithm 作为单值多重 polylogarithm 在椭圆曲线上的推广。
• 证明模图函数是这些椭圆函数在单位点 ζ = 1 处的特殊取值。
• 解释模图函数之间的代数关系作为椭圆 polylogarithm 恒等式的推论。
• 证明在 cusp 处的洛朗展开系数为单值多重 zeta 值的有理倍数。

提出的方法

• 将单值椭圆多重 polylogarithm 定义为在具有坐标 ζ 的椭圆曲线上定义的函数，关联于除两个顶点外所有外部动量为零的费曼图。
• 通过在 ζ = 1 处取值，将模图函数表示为这些椭圆函数的取值，建立直接对应关系。
• 利用部分分式恒等式与积分表示，将受约束的多重和约化为多重 polylogarithm 的组合。
• 应用 HyperInt 软件包验证约化与恒等式，特别是针对 C1,1,1(q) 函数。
• 利用 Eichler 积分构造与协变导数，将函数与 Eisenstein 系列及全纯模形式联系起来。
• 利用打乱代数结构将多重和表示为多 polylogarithmic 形式，实现系统的求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将模图函数与环面上的椭圆 polylogarithmic 结构联系起来？
• RQ2 模图函数与单值椭圆多重 polylogarithm 之间的精确代数关系是什么？
• RQ3 为何模图函数在 cusp 处洛朗展开的系数涉及单值多重 zeta 值的有理倍数？
• RQ4 模图函数之间复杂的代数恒等式能否从椭圆 polylogarithm 恒等式中导出？
• RQ5 全纯模形式的 Eichler 积分在这些函数结构中扮演何种角色？

主要发现

• 通过验证 q-展开中 φ0(q) = 0 与 φ1(q) = 0，证明 C1,1,1(q) 模图函数精确等于权为 6 的 Eisenstein 系列 E3(q) 加上 ζ(3)。
• 模图函数被证明是单值椭圆多重 zeta 值在 ζ = 1 处取值的有理线性组合。
• 通过部分分式恒等式实现多重和 La,b;c(x, y) 到多重 polylogarithm 的约化，并经由 HyperInt 软件包验证。
• 函数 C1,1,1(q) 被表示为多重 polylogarithm 实部与 Eichler 积分之和，且两个 G6(q) 的 Eichler 积分之差给出了模函数。
• 在 x = y = 1 时，恒等式 L1,1;1(x, y) = Li1,2(y/x, x) + Li1,2(x/y, y) 重现了欧拉关系 ζ(1,2) = ζ(3)，确认与已知 zeta 恒等式的一致性。
• 本文确立了环一振幅低能展开中系数为单值多重 zeta 值的有理倍数，通过椭圆 polylogarithm 恒等式解释了其代数结构。