[论文解读] Modular representations and branching rules for affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras

Weideng Cui, Jinkui Wan|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文建立了仿射 Yokonuma-Hecke 代数（对于 ℤ/rℤ）的模范畴与类型 A 仿射 Hecke 代数张量积之间的等价性，从而实现了在特征 p 不整除 r 的代数闭域上，对这些代数的简单模的分类以及模分支法则的确定。关键结果表明，这些分支法则与量子仿射代数的可积模的晶体图相对应。

ABSTRACT

We give an equivalence between a module category of the affine Yokonuma-Hecke algebra (associated with the group $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$) and its suitable counterpart for a direct sum of tensor products of affine Hecke algebras of type $A$. We then develop several applications of this result. In particular, the simple modules of the affine Yokonuma-Hecke algebra and of its associated cyclotomic algebra are classified over an algebraically closed field of characteristic $p$ when $p$ does not divide $r$. The modular branching rules for these algebras are obtained, and they are further identified with crystal graphs of integrable modules for quantum affine algebras.

研究动机与目标

• 建立仿射 Yokonuma-Hecke 代数的模范畴与类型 A 仿射 Hecke 代数张量积的直和之间的范畴等价。
• 在特征 p 不整除 r 的代数闭域上，对仿射 Yokonuma-Hecke 代数及其循环商代数的简单模进行分类。
• 推导这些代数的模分支法则，并将其与表示论中的组合结构相联系。
• 将所得的分支法则与量子仿射代数的可积模的晶体图相对应。

提出的方法

• 在与 ℤ/rℤ 相关的仿射 Yokonuma-Hecke 代数与类型 A 仿射 Hecke 代数张量积的直和之间建立模范畴的等价性。
• 利用仿射 Yokonuma-Hecke 代数作为半直积的结构，将其表示理论与仿射 Hecke 代数张量积的表示理论相联系。
• 应用模表示论的技术分析特征 p 下的简单模，假设 p 不整除 r。
• 运用循环 Hecke 代数的理论，将结果推广至仿射 Yokonuma-Hecke 代数的循环商代数。
• 利用等价性，将分支法则从张量积情形转移到仿射 Yokonuma-Hecke 代数。
• 建立模分支法则与量子仿射代数的可积模的晶体图之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将仿射 Yokonuma-Hecke 代数的表示理论与类型 A 仿射 Hecke 代数张量积的表示理论联系起来？
• RQ2 当 p 不整除 r 时，在正特征 p 下，仿射 Yokonuma-Hecke 代数及其循环商代数的简单模如何分类？
• RQ3 这些代数的模分支法则是什么？它们如何与表示论中已知的组合对象相关联？
• RQ4 是否可以将仿射 Yokonuma-Hecke 代数的模分支法则识别为量子仿射代数的可积模的晶体图？

主要发现

• 建立了仿射 Yokonuma-Hecke 代数（对于 ℤ/rℤ）的模范畴与类型 A 仿射 Hecke 代数张量积的直和之间的等价性。
• 在特征 p 不整除 r 的代数闭域上，对仿射 Yokonuma-Hecke 代数及其循环商代数的简单模实现了完全分类。
• 明确推导出了仿射 Yokonuma-Hecke 代数及其循环商代数的模分支法则。
• 证明了这些模分支法则与量子仿射代数的可积最高权模的晶体图完全一致。
• 该分类与分支法则在域的特征 p 不整除 r 的条件下成立。
• 结果在仿射 Yokonuma-Hecke 代数的模表示理论与量子仿射代数的组合学之间建立了桥梁。