[论文解读] Modules Over a Chiral Algebra

Nick Rozenblyum|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文为光滑代数曲线上任意幂次的扭量代数上的模提供了全面的框架，将扭量代数的三种等价描述——通过具有扭量括号的D-模、在Ran空间上的李代数以及因子化代数——推广至模。关键贡献在于确立了$X^{I_0}$上的扭量模与关联李代数在Ran空间上的扭量包络的李模之间的等价性，其中Chevalley复形通过沿对角线的Cousin复形实现了因子化结构。

ABSTRACT

Given a chiral algebra, we study modules over an arbitrary power of a curve. We describe this category in three different ways: in terms of factorization, in terms of certain chiral operations and as modules for a lie algebra in a certain tensor category. In addition, we consider analogous questions for LIe-* algebras and factorization spaces. For factorization spaces, we give a construction of multijets in terms of a certain Weil restriction which lets us characterize counital factorizable algebraic stacks as multijets.

研究动机与目标

• 将扭量代数的三种等价描述——具有扭量括号的D-模、Ran空间上的李代数以及因子化代数——推广至任意幂次曲线上扭量代数上的模。
• 在$X^{I_0}$上定义并研究扭量模与李-*-模，推广点支撑情形至全局曲线。
• 将扭量模表征为在参数化Ran空间上关于扭量与$*$-张量结构的模范畴中的李模。
• 通过Chevalley复形建立因子化模与李模之间的精确等价性，表明Chevalley复形计算沿对角线的Cousin复形。
• 以李模结构与Chevalley复形余锥的消失性，表征推前函子$r_{I_0*}$的Essential image。

提出的方法

• 引入参数化Ran空间$Ran_{I_0}$，并通过因子化性质与扭量运算定义$X^{I_0}$上的扭量模。
• 使用扭量包络构造，将扭量代数关联至李-*-代数，并定义相应的李-*-模与扭量模。
• 在导出$ty$-范畴$D\text{Mod}(Ran_{I_0})$中对作用于$r_{I_0*}(M)$的李代数$r_*(\fA)$应用Chevalley复形构造，微分由扭量乘法映射给出。
• 通过与沿对角线的Cousin复形的识别，确立Chevalley复形$C_*(r_*(\fA), r_{I_0*}(M))$在$Ran_{I_0}$上的$D$-模范畴中与$M$的拟同构。
• 通过伴随与基变换关系，将推前$r_{I_0*}$与Ran空间上的张量结构$\boxtimes^*$与$\boxtimes^{ch}$关联，表明$Ran_{I_0}$上的层构成一个模范畴。
• 应用函子$r_{\tilde{I}*}$及其拉回$r_{\tilde{I}}^!$，通过沿对角线的分层与多阶流结构，将全局模与局部数据关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将扭量代数的三种等价描述——具有扭量括号的D-模、Ran空间上的李代数以及因子化代数——推广至$X^{I_0}$上扭量代数的模？
• RQ2 在$X^{I_0}$上的扭量模与关联李代数在Ran空间上的扭量包络的李模之间，存在何种精确关系？
• RQ3 Ran空间上李代数$r_*(\fA)$的Chevalley复形如何实现扭量模的因子化结构？
• RQ4 在何种条件下，$r_*(\fA)$上的李模属于推前$r_{I_0*}$的Essential image？
• RQ5 Ran空间上层的扭量与$*$-张量结构如何对扭量模与李-*-模进行分类？

主要发现

• 在$D\text{Mod}(Ran_{I_0})$中，Chevalley复形$C_*(r_*(\fA), r_{I_0*}(M))$与$X^{I_0}$上的原始扭量模$M$拟同构，且该复形计算$X^{\tilde{I}}$沿对角线的Cousin复形。
• 当且仅当其Chevalley复形是$\fA$的因子化模时，$r_*(\fA)$上的李模$M$属于$r_{I_0*}$的Essential image，从而精确表征了像范畴。
• $r_{I_0*}$在扭量$\fA$-模范畴上是全忠实的，其逆由Chevalley复形的Cousin复形构造给出。
• $Ran_{I_0}$上的层在扭量与$*$-张量结构下构成一个模范畴，且扭量模与李-*-模可在此范畴中识别为李模。
• 通过Chevalley复形实现了扭量模与因子化模之间的等价性，该复形通过多阶流分层与伴随关系恢复了因子化结构。
• 该构造推广了经典情形：在点支撑时，扭量模对应于仿射Kac-Moody代数$\fG_{\tilde{\fK}}$的表示，现通过Ran空间扩展至全局曲线。