[论文解读] Moduli of Open Stable Maps to a Homogeneous Space

Amitai Netser Zernik|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 8被引用 10

一句话总结

该论文通过在闭稳定映射的模空间上使用几何构造（如爆破、不动点轨迹），将实齐次空间 X 中拉格朗日子流形 L 上的稳定全纯盘的模空间构造为一个具有角的紧致 Gk,l-轨道丛，且无需任何扰动。关键结果是：对于实齐次对 (X,L)，无需扰动，模空间自然地由群作用和轨道丛技术通过闭映射的对称配置产生。

ABSTRACT

For $L \hookrightarrow X$ a Lagrangian embedding associated with a real homogeneous space, we construct the moduli space of stable holomorphic discs mapping to $(X,L)$ as an orbifold with corners equipped with a group action. Some essential constructions involving orbifolds with corners are also discussed, including the existence of fibered products and pushforward and pullback of differential forms with values in a local system.

研究动机与目标

• 在不需对柯西-黎曼算子进行扰动的前提下，构造实齐次对 (X,L) 上稳定全纯盘映射的模空间。
• 证明该模空间是一个具有角的紧致 Gk,l-轨道丛，并配备一个 Gk,l-等变映射至闭稳定映射的模空间。
• 通过群作用和对称配置，利用几何而非分析方法，构造开格罗莫夫-威滕不变量。
• 为具有角的轨道丛开发基础工具，包括纤维积、微分形式（取值于局部系统）的上拉与下推。
• 证明通过超平面爆破得到的具有角的轨道丛中，不动点轨迹的存在性，尤其在环面群作用下。

提出的方法

• 利用齐次空间中柯西-黎曼算子的正则性，得出闭稳定映射模空间 M0,k+2l(X,β+β) 是预期维数的复轨道丛。
• 通过共轭映射并交换部分标记点，在 M0,k+2l(X,β+β) 上定义 Z/2-作用，以模拟盘映射的双重结构。
• 将 M∶∶ 定义为对称配置 ((Σ→X,...), b, Σ1/2) 的模空间，其中 b 为反全纯对合，Σ1/2 为基本区域。
• 通过超平面爆破，将 M∶∶ 构造为 M0,k+2l(X,β+β) 中 Z/2-不动点轨迹 MZ/2 的爆破，以解决奇点并确保适当的轨道丛结构。
• 利用群作用与等变几何，从 M∶∶ 到 M0,k+2l(X,β+β)Z/2 定义一个 Gk,l-等变遗忘映射。
• 证明通过超平面爆破得到的具有角的 G-轨道丛的不动点轨迹在具有角的轨道丛范畴中存在，且为闭嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不扰动柯西-黎曼算子的前提下，构造实齐次对 (X,L) 上开稳定映射的模空间？
• RQ2 模空间 M0,k,l(X,L,β) 的结构如何通过几何操作与闭稳定映射的模空间 M0,k+2l(X,β+β) 相关联？
• RQ3 在何种条件下，通过超平面爆破得到的具有角的 G-轨道丛的不动点轨迹可作为具有角的轨道丛存在？
• RQ4 对合与基本区域构成的对称配置在从闭映射重构开盘映射中起什么作用？
• RQ5 在无扰动数据的情况下，群作用与等变构造如何简化开格罗莫夫-威滕不变量的定义？

主要发现

• 对于实齐次对 (X,L)，稳定全纯盘映射的模空间 M0,k,l(X,L,β) 是一个无需对柯西-黎曼算子进行扰动的紧致 Gk,l-轨道丛，且具有角。
• 模空间 M0,k,l(X,L,β) 允许一个 Gk,l-等变映射 f: M0,k,l(β) → M0,k+2l(X,β+β)，将盘映射的双重结构提升为闭映射。
• 评估映射 ev: M0,k,l(β) → L^k × X^l 满足等变性条件 ev∘f = (i_L^k × (id_X^l × c_X^l)∘Δ_X^l)∘ev，确保与对合的相容性。
• 通过超平面爆破得到的具有角的 G-轨道丛 X̃ 的不动点轨迹 (X̃)^G 在具有角的轨道丛范畴中存在，且包含映射 (X̃)^G → X̃ 为闭嵌入。
• 当 G = U(1)^m 时，爆破 B(X,E) 的不动点轨迹同构于 B(X^G, Im(i^{-1}h))，其中 i: X^G → X 是不动点的包含映射。
• 该构造是局部且典范的：在适当坐标下，G-作用可线性化，且不动点轨迹由坐标的不变性与某些分量的消失所刻画。