[论文解读] Moduli space actions on the Hochschild Co-Chains of a Frobenius algebra I: Cell Operads

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|Jun 2, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文为亏格 $g$ 的带 $n$ 个穿孔及每个穿孔处带有切向量的曲线的模空间构建了一个胞腔模型，表明其具有有理数循环操作代数结构。此外，通过苏利亚尔弦图在弗罗贝尼乌斯代数的霍赫希尔德上链复形上建立了微分几何-PROP作用，该作用可上移至操作代数相关函数，并在环路空间上同调上诱导出作用；关键结果包括模空间的胞腔实现以及弦图上的链级PROP结构。

ABSTRACT

This is the first of two papers in which we prove that a cell model of the moduli space of curves with marked points and tangent vectors at the marked points acts on the Hochschild co--chains of a Frobenius algebra. We also prove that a there is dg--PROP action of a version of Sullivan Chord diagrams which acts on the normalized Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. These actions lift to operadic correlation functions on the co--cycles. In particular, the PROP action gives an action on the homology of a loop space of a compact simply--connected manifold. In this first part, we set up the topological operads/PROPs and their cell models. The main theorems of this part are that there is a cell model operad for the moduli space of genus $g$ curves with $n$ punctures and a tangent vector at each of these punctures and that there exists a CW complex whose chains are isomorphic to a certain type of Sullivan Chord diagrams and that they form a PROP. Furthermore there exist weak versions of these structures on the topological level which all lie inside an all encompassing cyclic (rational) operad.

研究动机与目标

• 为亏格 $g$ 的带 $n$ 个穿孔及每个穿孔处带有切向量的曲线的模空间 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ 定义一个胞腔模型。
• 在该模空间及其胞腔模型上建立有理数循环操作代数结构。
• 从一个与模空间的胞腔链同构的苏利亚尔弦图的CW复形构造一个微分几何-PROP。
• 证明该微分几何-PROP作用于弗罗贝尼乌斯代数的霍赫希尔德上链复形上，且可上移至操作代数相关函数。
• 证明该作用可下降至单连通紧致流形的自由环路空间上同调上的同调作用。

提出的方法

• 构造一个CW复形 $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$，其胞腔由带权弧的弧图索引，每个输入边界使用标准单纯形。
• 通过局部缩放弧权重以保持每个输入边界的总权重不变，定义双操作代数复合，确保与粘合操作相容。
• 证明所得结构构成一个同伦-PROP，其在胞腔链上下降为严格PROP。
• 建立 $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ 的胞腔链与某种苏利亚尔弦图之间的同构，形成一个微分几何-PROP。
• 利用同伦等价性证明该CW复形的同调实现了模空间的有理上同调。
• 证明胞腔链上的PROP结构与模空间的分次胞腔链一致，从而确认了该拓扑PROP的链模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格 $g$ 的带 $n$ 个穿孔及每个穿孔处带有切向量的曲线的模空间 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ 在拓扑层面是否具有有理数循环操作代数结构？
• RQ2 能否为 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ 构造一个胞腔模型，使其实现其上同调并支持在霍赫希尔德上链复形上的微分几何-操作代数作用？
• RQ3 是否存在一个微分几何-PROP结构，其在与某种苏利亚尔弦图同构的胞腔链复形上成立，且该结构作用于弗罗贝尼乌斯代数的霍赫希尔德上链复形上？
• RQ4 这些链上的代数结构如何与单连通紧致流形的自由环路空间上同调相关联？
• RQ5 能否在具有循环迹的微分分次代数的余循环复形张量代数上定义操作代数相关函数，从而产生一致的作用？

主要发现

• 为模空间 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ 构建了一个胞腔模型，即CW复形 $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$，其胞腔由弧图索引。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ 具有同伦-PROP结构，其在胞腔链上下降为严格PROP。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ 的胞腔链构成一个与某种苏利亚尔弦图同构的微分几何-PROP。
• 该微分几何-PROP作用于弗罗贝尼乌斯代数的霍赫希尔德上链复形上，诱导出一个微分几何作用，其在同调上下降。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ 的同调与模空间的有理上同调同构，确认该链模型为有理胞腔实现。
• 弗罗贝尼乌斯代数的霍赫希尔德上同调上的作用通过循环上同调识别与康奈斯的 $B$-算子对应于BV算子。