[论文解读] Moduli spaces of critical Riemannian metrics with L^{n/2} norm curvature bounds

Xiuxiong Chen, Brian Weber|ArXiv.org|May 30, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文在 $L^{n/2}$-范数曲率有界、Sobolev 常数一致有界以及体积/直径约束下，建立了紧致流形上极小 Kähler 度量模空间的弱紧致性。证明表明，此类模空间可通过包含有限个奇点的轨道丛（orbifolds）实现紧化，方法是针对曲率与极小向量场耦合的椭圆方程组，提出一种新颖的 $\epsilon$-正则性论证。

ABSTRACT

We consider the moduli space of the extremal Kähler metrics on compact manifolds. We show that under the conditions of two-sided total volume bounds, $L^{n\over2}$-norm bounds on $\Riem$, and Sobolev constant bounds, this Moduli space can be compactified by including (reduced) orbifolds with finitely many singularities. Most of our results go through for certain other classes of critical Riemannian metrics.

研究动机与目标

• 在 $L^{n/2}$-范数曲率、总体积、直径及 Sobolev 常数的统一有界条件下，建立极小 Kähler 度量模空间的弱紧致性。
• 将爱因斯坦度量与常数量曲率 Kähler 度量的紧致性结果推广至更广泛的极小 Kähler 度量类。
• 证明在所述有界条件下，模空间可通过包含（约化）具有有限个奇点的轨道丛实现紧化。
• 为由极小度量条件导出的耦合椭圆方程组，发展一种新的 $\epsilon$-正则性理论。
• 证明在曲率与 Sobolev 有界条件下，标量曲率的 $W^{2,2}$-有界性与极小向量场 $X$ 的 $L^2$-有界性为先验控制。

提出的方法

• 将六阶极小度量方程分解为三个相互关联的二阶椭圆型偏微分方程：$\triangle \mathop{\rm Rm} = \nabla^2 \mathop{\rm Ric} + \mathop{\rm Rm} * \mathop{\rm Rm}$，$\triangle \mathop{\rm Ric} = \mathop{\rm Ric} * \mathop{\rm Rm} + \nabla X$，以及 $\triangle X = \mathop{\rm Rm} * X$。
• 利用 $\epsilon$-正则性定理，根据曲率在球内 $L^{n/2}$-范数较小的条件，控制曲率及 $X$ 的导数的点态衰减。
• 通过 Hölder 不等式与 Sobolev 嵌入，对 $\nabla^p \mathop{\rm Rm}$、$\nabla^p \mathop{\rm Ric}$ 与 $\nabla^p X$ 的高阶 $L^k$-范数进行归纳论证。
• 运用技术性引理，通过低阶范数与曲率项控制高阶导数，利用 Sobolev 常数有界性。
• 利用耦合系统的结构，从 $\mathop{\rm Rm}$ 的 $L^{n/2}$-有界性与 Sobolev 控制中导出 $X$ 与 $\nabla X$ 的 $L^2$-有界性。
• 应用爆破分析，证明在给定有界条件下，曲率奇点必为孤立且具有轨道丛结构，从而实现紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^{n/2}$-范数曲率有界、体积有界、直径有界及 Sobolev 常数有界条件下，极小 Kähler 度量的模空间是否可紧化？
• RQ2 当一列极小 Kähler 度量满足上述曲率与几何有界条件时，其极限空间的结构如何？
• RQ3 曲率 $\mathop{\rm Rm}$、$\mathop{\rm Ric}$ 与 $X$ 的耦合椭圆方程如何控制曲率及其导数的正则性与衰减？
• RQ4 $L^{n/2}$-范数曲率有界与 Sobolev 常数有界在多大程度上蕴含曲率与极小向量场的高阶 $L^k$-正则性？
• RQ5 在何种条件下，极限空间中的曲率奇点会成为孤立且具有轨道丛结构？

主要发现

• 满足 $L^{n/2}$-范数曲率有界 $\|\mathop{\rm Rm}\|_{n/2} \leq \Lambda$、体积 $\mathop{\rm Vol} M \geq \nu$、直径 $\leq \delta$ 以及 Sobolev 常数 $C_g \leq C_S$ 的临界度量模空间 $\mathcal{M}(n, C_S, \Lambda, \nu, \delta)$ 是弱紧致的。
• 在所述有界条件下，$\mathcal{M}$ 中任意序列的弱极限为具有有限个奇点的（约化）轨道丛。
• 存在 $\epsilon$-正则性定理：若 $\int_{B(o,r)} |\mathop{\rm Rm}|^{n/2} \leq \epsilon_0$，则对 $a > n/2$，有 $\|\nabla^q X\|_{L^a(B(o,r/2))} \leq C r^{-q-3+n/a} \|R\|_{L^{n/2}(B(o,r))}^{2/n}$，其中常数依赖于 $C_S$、$a$、$q$、$n$。
• 通过利用 Hölder 不等式与 Sobolev 嵌入的归纳论证，$\nabla^p \mathop{\rm Rm}$、$\nabla^p \mathop{\rm Ric}$ 与 $\nabla^p X$ 的高阶 $L^k$-范数可由低阶范数与曲率项控制。
• $X$ 与 $\nabla X$ 的 $L^2$-范数在 $\|\mathop{\rm Rm}\|_{n/2}$ 与 Sobolev 常数的有界性下为先验有界，为弱紧致性提供起点。
• 在极限空间中，曲率奇点为孤立且具有轨道丛结构，因为爆破分析表明，在曲率与 Sobolev 有界条件下，奇点必为有限且孤立的。