[论文解读] Moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections over generalized Kahler manifolds of symplectic type

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过矩量映射框架，将爱因斯坦-赫尔米特广义联络引入广义凯勒流形的辛类型，证明其模空间为凯勒商，且变形复形为椭圆型，确保模空间的光滑部分为有限维凯勒流形。曲率通过 $d$-闭纯旋量 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ 定义，凯勒–里奇孤立子与共赫格斯丛被证明是该框架的特例。

ABSTRACT

From a view point of the moment map, we shall introduce the notion of Einstein-Hermitian generalized connections over a generalized Kähler manifold of symplectic type. We show that moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections arise as the Kähler quotients. The deformation complex of Einstein-Hermitian generalized connections is an elliptic complex and it turns out that the smooth part of the moduli space is a finite dimensional Kähler manifold. The canonical line bundle over a generalized Kähler manifold of symplectic type has the canonical generalized connection and its curvature coincides with "the scalar curvature as the moment map" which is defined in the previous paper [Goto_2016]. Kähler-Ricci solitons provide examples of Einstein-Hermitian generalized connections and Einstein Hermitian co-Higgs bundles are also discussed.

研究动机与目标

• 将凯勒几何中的矩量映射框架推广至广义凯勒几何，通过定义爱因斯坦-赫尔米特广义联络实现此目标。
• 通过酉规范群作用，将此类联络的模空间构造为凯勒商。
• 通过 $d$-闭、非退化、纯旋量 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ 定义广义联络的曲率，以支持矩量映射解释。
• 证明爱因斯坦-赫尔米特广义联络的变形复形为椭圆型，从而表明模空间为有限维凯勒流形。
• 识别凯勒–里奇孤立子与爱因斯坦-赫尔米特共赫格斯丛为该框架的特例。

提出的方法

• 将广义联络 $\mathcal{D}^\mathcal{A} = D^A + V$ 定义为向量丛 $E$ 上的微分算子，其中 $D^A$ 为普通联络，$V$ 为取值于 $\text{End}(E)$ 的向量场。
• 通过 $\text{End}(E) \otimes \wedge^\bullet(TM \oplus T^*M)$ 在 $d$-闭纯旋量 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ 上的旋量表示定义曲率 $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi)$，其表达式为 $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi) = F_A \cdot \psi + d^{D_A}(V \cdot \psi) + \frac{1}{2}[V,V] \cdot \psi$。
• 在广义赫尔米特联络的仿射空间 $\widetilde{\mathcal{GM}}(E,h)$ 上赋予自然凯勒结构，其辛形式为 $\omega_{\widetilde{\mathcal{GM}}}(\dot{\mathcal{A}}_1, \dot{\mathcal{A}}_2) = -\int_M \text{tr} \langle \mathcal{J}_\psi \dot{\mathcal{A}}_1, \dot{\mathcal{A}}_2 \rangle_{T \oplus T^*} \text{vol}_M$。
• 定义酉规范群作用下的矩量映射 $\mu: \widetilde{\mathcal{GM}}(E,h) \to \mathfrak{u}(E)^*$，并将爱因斯坦-赫尔米特条件识别为矩量映射的零点集。
• 利用 $b$-场变换 $\text{Ad}_{e^{-b}}$ 将 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ 上的广义联络与 $e^{\sqrt{-1}\omega}$ 上的联络关联，证明爱因斯坦-赫尔米特条件在 $b$-场变换下保持不变。
• 推导出爱因斯坦-赫尔米特条件为 $\sqrt{-1}\Lambda_\omega F_A + \sum_i [V_i^{1,0}, (V_i^{1,0})^*] = \lambda \text{id}_E$，并将其推广为 $\sqrt{-1}\Lambda_\omega(F_A - d^A(\text{ad}_b V) + \frac{1}{2}[\text{ad}_b V, \text{ad}_b V]) + \sum_i [V_i^{1,0}, (V_i^{1,0})^*] = \lambda \text{id}_E$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将凯勒几何中的矩量映射框架推广至广义凯勒流形的辛类型？
• RQ2 何种广义联络曲率定义可支持矩量映射解释？
• RQ3 爱因斯坦-赫尔米特广义联络的模空间如何作为凯勒商出现？
• RQ4 $b$-场在广义凯勒结构间变换爱因斯坦-赫尔米特条件中起何作用？
• RQ5 在何种条件下，凯勒–里奇孤立子与爱因斯坦-赫尔米特共赫格斯丛可从广义联络框架中导出？

主要发现

• 爱因斯坦-赫尔米特广义联络的模空间被证明为凯勒商，继承自广义赫尔米特联络空间的凯勒结构。
• 爱因斯坦-赫尔米特广义联络的变形复形为椭圆型，表明模空间的光滑部分为有限维凯勒流形。
• 广义联络的曲率通过 $\text{End}(E) \otimes \wedge^\bullet(TM \oplus T^*M)$ 在 $d$-闭纯旋量 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ 上的旋量表示定义，表达式为 $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi) = F_A \cdot \psi + d^{D_A}(V \cdot \psi) + \frac{1}{2}[V,V] \cdot \psi$。
• 在典范线丛上的典范广义联络，其曲率作为矩量映射等于标量曲率，推广了 [Go5] 中的结果。
• 当 $\psi = e^{\sqrt{-1}\omega}$ 时，普通凯勒流形上的凯勒–里奇孤立子被证明是爱因斯坦-赫尔米特广义联络的特例。
• 当 $b = \omega$ 时，广义爱因斯坦-赫尔米特条件退化为取值于 $\text{End}(E)$ 的凯勒–里奇孤立子方程，建立了与几何流的直接联系。