[论文解读] Moduli spaces of weighted stable curves and log canonical models of $\bar{M}_{g,n}$

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了哈塞特的加权稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 是紧化模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的对数卡斯蒂亚诺模型。通过一个初等论证，作者证明了在全族上，线丛 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ 的拟正性，从而表明对于任意权向量 $\mathcal{A}$，$\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 的粗模空间是 log canonical 模型，解决了 genus 0 情况下的问题，并将此前关于 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的拟正锥结果推广。

ABSTRACT

Using Kollár's semipositivity results, we produce a number of nef and ample tautological divisors on Hassett's spaces of weighted stable pointed curves. As an application, we prove that Hassett's spaces are log canonical models of Deligne-Mumford spaces of stable pointed curves.

研究动机与目标

• 证明对于任意权向量 $\mathcal{A} \in (0,1]^n \cap \mathbb{Q}^n$，哈塞特的模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 是 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的对数卡斯蒂亚诺模型。
• 证明在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 上的全族上，线丛 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ 的拟正性，这是构造对数卡斯蒂亚诺模型的关键。
• 通过证明 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的 GIT 锥中所有除子都包含于拟正锥中，将此前关于 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 拟正锥的结果加以推广，并探究这两个锥是否相等。

提出的方法

• 利用科拉尔的半正性结果，证明 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ 是 $\pi$-拟正的，并通过一个适用于所有亏格的初等论证，证明其在全空间 $\mathcal{C}$ 上的拟正性。
• 对全空间 $\mathcal{C}$ 的结构进行分情况分析，区分 $g \geq 2$、$g = 1$ 和 $g = 0$ 的情形，以在重合截面满足 $\sum a_i \leq 1$ 的权条件下验证线丛的拟正性。
• 通过分析与不包含于纤维中的不可约曲线的交数，利用典范除子的性质和相对极小性，证明线丛 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ 在 $\mathcal{C}$ 上是拟正的。
• 在 genus 0 情况下，利用塔陶洛吉除子类与 GIT 拉普拉斯之间的关系，将对数卡斯蒂亚诺除子用 $\psi_i$、$\Delta_{ij}$ 和 $\Delta_{\text{nodal}}$ 表示，证明 $A(x_1,\dots,x_n) = -\frac{n-2}{2} \sum x_i \psi_i$。
• 应用主要的正性结果，通过纤维曲面上的爆破序列和交集理论，证明特定除子类如 $2\Delta_{\text{nodal}} - \psi$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,6}$ 上是拟正的。
• 通过将具有多个重合截面的加权配置中一对权为 $1/2$ 的截面替换为单个权为 1 的截面，将问题约化为低维情形，最终通过在 $\mathbb{P}^1$ 上的次数计算验证了拟正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意权向量 $\mathcal{A}$，哈塞特的模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 是否是 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的对数卡斯蒂亚诺模型？
• RQ2 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的 GIT 锥中所有除子是否都包含于其拟正锥中？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的拟正锥与 GIT 锥是否相等？
• RQ4 除子 $2\Delta_{\text{nodal}} - \psi$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,6}$ 上是否拟正？
• RQ5 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,(1,1,1/2,1/2)}$ 上的全族上，对数卡斯蒂亚诺除子 $\frac{2}{3}\psi + \frac{2}{3}\Delta_s - \Delta_{\text{nodal}}$ 的次数是多少？

主要发现

• 对于任意权向量 $\mathcal{A} \in (0,1]^n \cap \mathbb{Q}^n$，$\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 的粗模空间是 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的对数卡斯蒂亚诺模型，解决了哈塞特（2003）问题 7.1。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 上的全族的全空间 $\mathcal{C}$ 上，线丛 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ 是拟正的，该结论通过一个初等论证得到证明，且该论证还识别出该线丛次数为零的曲线。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上，GIT 锥中的所有除子都包含于拟正锥中，如命题 5.1 所示，该结果推广了文献 [2]、[5] 和 [14] 的结果。
• 除子 $2\Delta_{\text{nodal}} - \psi$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,6}$ 上是拟正的，该结论通过分析全空间的结构和交集理论得到验证。
• 表达式 $A(x_1,\dots,x_n) = -\frac{n-2}{2} \sum x_i \psi_i$ 给出了 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上 GIT 拉普拉斯在塔陶洛吉类下的表示，对 $n \geq 3$ 成立。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,(1,1,1/2,1/2)}$ 上的全族上，除子 $\frac{2}{3}\psi + \frac{2}{3}\Delta_s - \Delta_{\text{nodal}}$ 的次数为零，确认了在此情形下的拟正性。