[论文解读] Motivic unipotent fundamental groupoid of $\mathbb{G}_{m} \setminus \mu_{N}$ for $N=2,3,4,6,8$ and Galois descents

Claire Glanois|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文利用伽罗瓦下降和冈察罗夫的对偶积，为 N = 2, 3, 4, 6, 8 构造了相对于单位根的 motivic 多重 zeta 值的显式基。它提供了对德尔格内关于混合 Tate 模式在分圆环上的结构结果的新证明，并通过 motivic 重复积分给出了多重 zeta 值的生成族，且在过滤的每一级上给出了深度-2 关系的显式公式。

ABSTRACT

We study Galois descents for categories of mixed Tate motives over $\mathcal{O}_{N}[1/N]$, for $N\in \left\{2, 3, 4, 8 ight\}$ or $\mathcal{O}_{N}$ for $N=6$, with $\mathcal{O}_{N}$ the ring of integers of the $N^{ ext{th}}$ cyclotomic field, and construct families of motivic iterated integrals with prescribed properties. In particular this gives a basis of honorary multiple zeta values (linear combinations of iterated integrals at roots of unity $\mu_{N}$ which are multiple zeta values). It also gives a new proof, via Goncharov's coproduct, of Deligne's results: the category of mixed Tate motives over $\mathcal{O}_{k_{N}}[1/N]$, for $N\in \left\{2, 3, 4,8 ight\}$ is spanned by the motivic fundamental groupoid of $\mathbb{P}^{1}\setminus\left\{0,\mu_{N},\infty ight\}$ with an explicit basis. By applying the period map, we obtain a generating family for multiple zeta values relative to $\mu_{N}$.

研究动机与目标

• 为 N ∈ {2, 3, 4, 6, 8} 构造相对于 µN 的 motivic 多重 zeta 值（MMZV）的显式基，方法为在混合 Tate 模式的范畴中使用伽罗瓦下降。
• 通过冈察罗夫的对偶积，提供对德尔格内结果的新证明：在 OkN[1/N] 上，混合 Tate 模式的范畴由 P1 \ {0, µN, ∞} 的 motivic 基本群族生成，并给出显式基。
• 通过将周期映射应用于所构造的 motivic 基，建立相对于 µN 的多重 zeta 值的生成族。
• 在对应于伽罗瓦下降的 HN 上定义并计算 motivic 过滤（层级），为每一层级提供显式基及深度。

提出的方法

• 通过 motivic 多重 zeta 值上的共作用 ∆ 使用伽罗瓦下降，该共作用由冈察罗夫的对偶积诱导，并由布朗推广。
• 为每个下降 (kN/kN', M/M') 定义 HN 上的 motivic 过滤 F⌈_i，其中 F⌈_0 对应于伽罗瓦群 GN/N′ 的不变量。
• 构造 MMZVµN 的基 BN，其显式层级结构依赖于 N：当 N=2 时，层级为 yi = 0 的个数；当 N=4 时，层级为偶数 xi 或 xi=1 的个数；当 N=8 时，层级包括 ǫi = -1 的个数。
• 应用周期映射 per: HN → ZN，将 motivic 结果转化为具体的多重 zeta 值。
• 通过线性组合显式计算每个 N 和下降层级的深度-2 基，以消除微分算子 D2r 和 D1◦D2r 的作用。
• 使用递归构造和显式系数 αa,b_k, βa,b, γx1,x2 定义关系，使共作用在商空间 H≥i = H/Fi−1H 中消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ON[1/N] 上，P1 \ {0, µN, ∞} 的 motivic 基本群族对 N ∈ {2, 3, 4, 6, 8} 的结构如何？
• RQ2 在分圆环上的混合 Tate 模式 motivic 框架中，伽罗瓦下降如何显式实现？
• RQ3 对这些 N，相对于 µN 的 motivic 多重 zeta 值的完整显式基是什么，且具有明确定义的层级过滤？
• RQ4 共作用 ∆ 以及算子 D2r, D1◦D2r 如何决定 motivic 过滤结构及每个商空间中的基？
• RQ5 通过周期映射得到的相对于 µN 的多重 zeta 值（MZV）的对应生成族是什么？

主要发现

• 当 N=2 时，motivic 欧拉和的基由 ζm(2y1+1,…,2yp+1; 1,…,1,−1) · (2πi)^s 给出，其中 yi ≥ 0，s ≥ 0，层级为 yi = 0 的个数。
• 当 N=4 时，基包括 ζm(x1,…,xp; 1,…,1,√−1) · (2πi)^s，其中 xi > 0，层级定义为偶数 xi 的个数（下降至 H2）或偶数 xi 个数加 xi=1 的个数（下降至 H1）。
• 当 N=8 时，基包括 ζm(x1,…,xp; ǫ1,…,ǫpξ) · (2πi)^s，其中 ǫi = ±1，层级包括 ǫi = -1 的个数。
• 在深度 2 时，当 N=4 且 n 为偶数，FkN/Q,P/1_1 Hn 的基为 {ζm(2a+1,2b+1;1,ξ) − Σ αa,b_k ζm(n−2k,2k;1,ξ)}，其中 a,b ≥ 0，且 (a,b) ≠ (0,0)。
• 当 N=8 且 n 为奇数，Fk8/Q,2/1_1 Hn 的基包括 ζm(x1,x2;1,ξ) + ζm(x1,x2;−1,−ξ) + ζm(x1,x2;1,−ξ) + ζm(x1,x2;−1,ξ) 减去一个包含 ζm(1,n−1;·) 的线性组合，系数为 γx1,x2 = (−1)^x2 * binom(2r−1, 2r−x2)。
• 当 N=6 且为偶权时，Fk6/Q,P/1_1 Hn 的深度-2 基为 {ζm(2a+1,2b+1;1,ξ) − Σ αa,b_k ζm(n−2k,2k;1,ξ)}，其中 a,b > 0。