[论文解读] MST in O(1) Rounds of the Congested Clique

Tomasz Jurdziński, Krzysztof Nowicki|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种随机化分布式算法，在汇聚 clique 模型中以高概率在 O(1) 轮内计算最小生成树（MST）。该算法通过引入一种新颖的稀疏化技术，将稀疏子图的连通分量进行合并，将问题简化为两个受限情形：一是低度图，二是已知划分为 O(n/log log n) 个连通分量的图。这两个情形均可通过现有和新型的路由与采样技术在 O(1) 轮内解决。

ABSTRACT

We present a distributed randomized algorithm finding Minimum Spanning Tree (MST) of a given graph in O(1) rounds, with high probability, in the Congested Clique model. The input graph in the Congested Clique model is a graph of n nodes, where each node initially knows only its incident edges. The communication graph is a clique with limited edge bandwidth: each two nodes (not necessarily neighbours in the input graph) can exchange $O(\log n)$ bits. As in previous works, the key part of the MST algorithm is an efficient Connected Components (CC) algorithm. However, unlike the former approaches, we do not aim at simulating the standard Boruvka algorithm, at least at initial stages of the CC algorithm. Instead, we develop a new technique which combines connected components of sample sparse subgraphs of the input graph in order to accelerate the process of uncovering connected components of the original input graph. More specifically, we develop a sparsification technique which reduces an initial CC problem in $O(1)$ rounds to its two restricted instances. The former instance has a graph with maximal degree $O(\log \log n)$ as the input -- here our sample-combining technique helps. In the latter instance, a partition of the input graph into $O(n/\log \log n)$ connected components is known. This gives an opportunity to apply previous algorithms to determine connected components in $O(1)$ rounds. Our result addresses the problem from and the $O(\log \log n)$ algorithm of Lotker et al. [SPAA 2003; SICOMP 2005], improves over previous $O(\log* n)$ algorithm of Ghaffari et al. [PODC 2016] and $O(\log \log \log n)$ algorithm of Hegeman et al. [PODC 2015] . It also determines $Θ(1)$ round complexity in the congested clique for MST, as well as other graph problems, including bipartiteness, cut verification, s-t connectivity and cycle containment.

研究动机与目标

• 解决在汇聚 clique 模型中实现 O(1) 轮复杂度 MST 的开放问题。
• 改进先前针对 MST 的随机化轮复杂度界限，如 O(log* n) 和 O(log log log n) 轮。
• 为相关图问题（如连通性、二分性、环包含性）建立 O(1) 轮复杂度。
• 开发一种通过稀疏子图采样与合并加速连通分量计算的新技术。
• 展示通过高效路由与基于代理的计算，实现多个算法实例并行模拟的可行性。

提出的方法

• 提出一种稀疏化技术，将原始 MST 问题简化为两个受限子问题：低度图与划分图。
• 使用随机采样构建最大度为 O(log log n) 的稀疏子图，以实现高效的连通分量合并。
• 通过代理节点同时在 √n 个此类稀疏子图上执行修改后的 Boruvka 风格算法，以管理分布式计算。
• 利用 Lenzen 的路由引理，在 O(1) 轮内实现每节点 O(n) 条消息的传递，从而支持多个并行实例之间的高效通信。
• 使用代理节点维护并传播多个子图实例中的生成森林信息，随后在 O(1) 轮内将父指针路由回原始节点。
• 将 MST 问题约化为连通分量（CC）问题，并通过组合两个受限实例的结果，在 O(1) 轮内求解 CC。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在汇聚 clique 模型中使用随机化算法在 O(1) 轮内求解 MST 问题？
• RQ2 是否可以通过合并稀疏子图中的连通分量，而非模拟标准 Boruvka 步骤，来加速连通分量计算？
• RQ3 当限制为 O(1) 轮时，MST 及相关图问题在汇聚 clique 模型中的轮复杂度是多少？
• RQ4 如何在不增加轮复杂度的前提下并行执行多个 CC 算法实例？
• RQ5 能否使用基于代理的计算与高效路由，在 O(1) 轮内模拟复杂的分布式算法？

主要发现

• 本文通过高概率的随机化算法，在汇聚 clique 模型中建立了 MST 的 O(1) 轮复杂度。
• 该算法将 MST 问题约化为两个受限情形：一是最大度为 O(log log n) 的图，二是已知划分为 O(n / log log n) 个连通分量的图。
• 通过一种新颖的采样与合并技术，低度图的连通分量在 O(1) 轮内被计算，且避免了完整 Boruvka 模拟。
• 该算法在 O(1) 轮内解决了多个验证问题，包括二分性、割验证、s-t 连通性与环包含性，方法是通过约化为连通性问题。
• 该解决方案利用 Lenzen 的路由引理，在 O(1) 轮内实现每节点 O(n) 条消息的传递，从而支持 √n 个算法实例的高效并行执行。
• 该方法通过代理节点实现多个算法实例的并行模拟，且在 O(1) 轮内将生成森林的父信息路由回原始节点。