[论文解读] Multiple sine, multiple elliptic gamma functions and rational cones

Luigi Tizzano, Jacob Winding|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文引入了以 ℝʳ 中的有理锥为标签的广义多重正弦函数与多重椭圆伽马函数，将经典函数推广至高维。当 r=2,3 时，证明了广义椭圆伽马函数在与锥结构相关的 SL₃(ℤ)×ℤ³ 变换下具有模不变性，而广义正弦函数则在锥的 1D 面上具有无限乘积分解形式，其中包含广义伯努利多项式与 SL₃(ℤ) 对偶变换。

ABSTRACT

We define generalizations of the multiple elliptic gamma functions and the multiple sine functions, labelled by rational cones in $\mathbb{R}^r$. For $r=2,3$ we prove that the generalized multiple elliptic gamma functions enjoy a modular property determined by the cone. This generalizes the modular properties of the elliptic gamma function studied by Felder and Varchenko. The generalized multiple sine enjoy a related infinite product representation, generalizing the results of Narukawa for the ordinary multiple sine functions.

研究动机与目标

• 通过在 ℝʳ 中引入有理锥作为标签，将多重正弦函数与多重椭圆伽马函数推广至标准情况之外。
• 在 r=2 和 r=3 维情况下，建立广义多重椭圆伽马函数的模性质，扩展 Felder 与 Varchenko 对普通椭圆伽马函数的 SL₃(ℤ) 模不变性结果。
• 为广义多重正弦函数 S₂ᶜ 与 S₃ᶜ 推导无限乘积表示，其因子分解基于锥的 1维面，并引入广义伯努利多项式。
• 证明广义多重伽马函数 G₁ᶜ 与 G₂ᶜ 的因子分解恒等式，表明其等价于由与锥的每个面相关联的 SL₃(ℤ) 元素所变换的标准函数的乘积。
• 将这些数学结构与在 toric 流形上定义的超对称 gauge 理论中的物理应用相联系，其中锥编码了底层时空的几何结构。

提出的方法

• 通过在 ℝʳ 中定义一个有理、r 维、1-Gorenstein 锥 C 作为附加数据，来构造广义多重正弦函数 Sᵣᶜ 与广义多重椭圆伽马函数 Gᵣᶜ。
• 利用良锥及其剖分的概念，证明因子分解性质，尤其针对 r=2 与 r=3 的情形。
• 通过在对偶锥中对格点求和，引入广义伯努利多项式 Bᵣ,ᵣᶜ(z|ω̲)，并显式计算 B₂,₂ᶜ。
• 为 S₂ᶜ 与 S₃ᶜ 建立无限乘积表示，其形式为锥的 1维面的乘积，每个因子与对应面相关的标准多重正弦函数有关，并附加一个广义伯努利多项式的指数因子。
• 通过证明在由锥几何诱导的 SL₃(ℤ) 作用下，G₁ᶜ 与 G₂ᶜ 满足变换规律，从而证明其模不变性，其中使用了与每个面相关联的对偶变换 S 与 K_f。
• 通过使用逆 S-对偶变换，推导 G₂ᶜ 的替代因子分解形式，并将所得的伯努利多项式项与广义 B₃,₃ᶜ 关联，从而证明广义伽马函数的模型恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将多重正弦函数与多重椭圆伽马函数推广为依赖于 ℝʳ 中的有理锥 C，而非仅依赖于周期集合？
• RQ2 广义多重椭圆伽马函数 Gᵣᶜ 从锥结构中继承了哪些模变换性质，特别是在 r=2 与 r=3 的情形下？
• RQ3 广义多重正弦函数 Sᵣᶜ 是否可表示为无限乘积？若是，其因子分解结构如何与锥的 1维面相关？
• RQ4 广义伯努利多项式 Bᵣ,ᵣᶜ 与 Sᵣᶜ 的无限乘积表示以及 Gᵣᶜ 的模性质之间有何关系？
• RQ5 在超对称 gauge 理论的背景下，锥 C 的物理意义是什么？锥结构如何通过这些广义函数在划分函数中体现？

主要发现

• 广义多重椭圆伽马函数 G₂ᶜ(z|ω̲) 在 SL₃(ℤ)×ℤ³ 变换下满足模不变性，其中变换矩阵 K_f 与 S 分别与锥的每个 1维面 f 相关联。
• 对于一个良的、1-Gorenstein 的三维锥 C，函数 G₂ᶜ 可分解为 1D 面 f 上的乘积，每个因子为标准 G₂ 函数的变换形式：G₂ᶜ(z|ω̲) = ∏_f (S⁻¹K_f)*G₂(z|ω̲) × exp(−πi/12 B₄,₄ᶜ(z|ω̲,1))。
• 广义多重正弦函数 S₂ᶜ(z|ω̲) 在锥的 1D 面上具有无限乘积表示，每个因子为与该面相关的多重正弦函数，并附加一个涉及广义伯努利多项式 B₂,₂ᶜ 的指数因子。
• 广义多重正弦函数 S₃ᶜ(z|ω̲) 同样具有无限乘积表示，其结构形式与 S₂ᶜ 相同，包含与面相关的多重正弦函数因子与一个广义伯努利多项式因子。
• 证明了一个模型恒等式：exp(−πi/3 B₃,₃ᶜ(z|ω̲)) = ∏_f (SK_f)*G₁(z|ω̲)，表明广义伯努利多项式 B₃,₃ᶜ 与锥各面上传播的变换后 G₁ 函数的乘积相关。
• 本结果通过将锥结构作为模不变性的几何标签，推广了 Felder 与 Varchenko 对普通椭圆伽马函数（G₁）的模性质，以及 Narukawa 对 Gᵣ 的结果。