[论文解读] Multiple zeta values and iterated Eisenstein integrals

Alex Saad|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了所有 motivic multiple zeta values 都可以表示为 motivic iterated Eisenstein integrals 沿椭圆曲线模堆栈基本群元素的有理线性组合，这些积分是 motivic multiple modular values。这为 ℤ 上的混合 Tate 混合动机的 Tannakian 范畴提供了一个新的模形式生成元，其系数部分由 motivic coaction 确定。

ABSTRACT

Brown showed that the affine ring of the motivic path torsor $π_1^{ ext{mot}}(\mathbb{P}^1 \backslash \left\{0,1,\infty ight\}, \vec{1}_0, -\vec{1}_1)$, whose periods are multiple zeta values, generates the Tannakian category $\mathsf{MT}(\mathbb{Z})$ of mixed Tate motives over $\mathbb{Z}$. Brown also introduced multiple modular values, which are periods of the relative completion of the fundamental group of the moduli stack $\mathcal{M}_{1,1}$ of elliptic curves. We prove that all motivic multiple zeta values may be expressed as $\mathbb{Q}[2 πi]$-linear combinations of motivic iterated Eisenstein integrals along elements of $π_1 (\mathcal{M}_{1,1}) \cong SL_2(\mathbb{Z})$, which are examples of motivic multiple modular values. This provides a new modular generator for $\mathsf{MT}(\mathbb{Z})$. We also explain how the coefficients in this linear combination may be partially determined using the motivic coaction.

研究动机与目标

• 通过模形式对象建立理解 multiple zeta values 的新代数与 motivic 框架。
• 证明 motivic multiple zeta values 源自 M_{1,1} 基本群上的 iterated Eisenstein integrals。
• 证明这些积分生成 ℤ 上混合 Tate 动机的 Tannakian 范畴 MT(ℤ)。
• 提供一种利用 motivic coaction 确定线性组合中系数的方法。
• 通过模形式几何构造，统一 multiple zeta values 与 multiple modular values。

提出的方法

• 利用 Brown 的 motivic path torsor 框架，将 multiple zeta values 解释为 motivic 基本群周期。
• 应用 M_{1,1} 基本群的相对完备化理论，定义 motivic iterated Eisenstein integrals。
• 利用 SL₂(ℤ) 对 π₁(M_{1,1}) 的作用来参数化积分，并将其与模形式联系起来。
• 利用 motivic coaction 确定 motivic iterated Eisenstein integrals 的 Q[2πi]-线性组合中的系数。
• 通过几何与 motivic 结构，建立 motivic multiple zeta values 与 motivic multiple modular values 之间的对应关系。
• 运用 Tannakian 形式化方法，证明 motivic iterated Eisenstein integrals 的像生成 MT(ℤ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 motivic multiple zeta values 是否可以表示为 M_{1,1} 基本群上 motivic iterated Eisenstein integrals 的线性组合？
• RQ2 这些积分是否生成 ℤ 上混合 Tate 动机的 Tannakian 范畴 MT(ℤ)？
• RQ3 如何利用 motivic coaction 确定此类线性组合中的系数？
• RQ4 motivic multiple zeta values 与 motivic multiple modular values 之间的精确关系是什么？
• RQ5 是否存在一种模形式几何构造，能够统一 multiple zeta values 与 multiple modular values？

主要发现

• 所有 motivic multiple zeta values 均被证明可表示为沿 π₁(M_{1,1}) ≅ SL₂(ℤ) 元素的 Q[2πi]-线性组合，其对象为 motivic iterated Eisenstein integrals。
• motivic iterated Eisenstein integrals 构成了 MT(ℤ) 的新模形式生成元。
• 线性组合中的系数部分由 motivic coaction 确定，从而提供了一种计算机制。
• 该构造通过 M_{1,1} 的几何结构，建立了 multiple zeta values 与 multiple modular values 之间的直接联系。
• 结果证实，multiple zeta values 的 motivic 结构与模群 SL₂(ℤ) 及 iterated Eisenstein integrals 密切相关。
• 该框架通过模形式对象，为 motivic Galois 群作用于 multiple zeta values 提供了新视角。