[论文解读] Multiplicities Associated to Graded Families of Ideals

Steven Dale Cutkosky|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文利用Okounkov体技术，在具有完美剩余域的解析非分歧同特征局部环中，建立了与分次理想族相关的多重性极限的存在性。证明了体积=多重性公式，确认了epsilon多重性作为极限的存在性，并推导出多重性的渐近可加性公式，解决了关于局部环中赋值增长的一个问题。

ABSTRACT

We prove that limits of multiplicities associated to graded families of ideals exist under very general conditions. Most of our results hold for analytically unramified equicharacteristic local rings, with perfect residue fields. We give a number of applications, including a "volume = multiplicity" formula, generalizing the formula of Lazarsfeld and Mustata, and a proof that the epsilon multiplicity of Ulrich and Validashti exists as a limit for ideals in rather general rings, including analytic local domains. We also prove an asymptotic "additivity formula" for limits of multiplicities, and a formula on limiting growth of valuations, which answers a question posed by the author, Kia Dalili and Olga Kashcheyeva. Our proofs are inspired by a philosophy of Okounkov, for computing limits of multiplicities as the volume of a slice of an appropriate cone generated by a semigroup determined by an appropriate filtration on a family of algebraic objects.

研究动机与目标

• 在广泛的代数条件下，建立分次理想族中多重性极限的存在性。
• 将Lazarsfeld与Mustata的体积=多重性公式推广至更广泛的局部环类。
• 在一般解析局部域中证明Ulrich与Validashti的epsilon多重性作为极限存在。
• 解决Cutkosky、Dalili与Kashcheyeva提出关于赋值半群极限增长的问题。
• 建立分次理想族中多重性的渐近可加性公式。

提出的方法

• 利用Okounkov体思想，将多重性极限解释为由滤子生成的锥的截面体积。
• 将问题约化至完备域，并构造一个支配环的秩1、有理数秩为d的赋值。
• 应用Rees版本的Izumi定理处理有界性，无需要求环的卓越性。
• 使用与分次线性系统族相关的Z^{d+1}中的半群来建模多重性增长。
• 通过基变换和剩余域控制确保不引入幂零元，要求剩余域为完美域。
• 应用局部上同调与Hilbert–Samuel多重性理论中的可加性公式，推导出渐近结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在解析非分歧同特征局部环中，对于m_R-拟主理想的分次族，极限lim_{n→∞} ℓ(R/I_n)/n^d是否存在？
• RQ2 体积=多重性公式能否推广至代数闭剩余域和卓越环之外的更广泛环类？
• RQ3 在一般解析局部域中，理想epsilon多重性是否作为极限存在？
• RQ4 赋值半群的值数φ(n) = |S^R(ω) ∩ (0,n)| 的极限增长是否渐近正比于n^d？
• RQ5 能否为分次理想族的Hilbert–Samuel多重性证明渐近可加性公式？

主要发现

• 在具有完美剩余域的解析非分歧同特征局部环中，对于任意m_R-拟主理想的分次族，极限lim_{n→∞} ℓ(R/I_n)/n^d存在。
• 分次理想族的体积等于其多重性极限，将Lazarsfeld–Mustata公式推广至更广泛的环类。
• Ulrich与Validashti的epsilon多重性在任意解析非分歧局部域中作为极限存在，包括正则环与卓越环。
• 证明了渐近可加性公式：极限lim_{n→∞} e_s(m_R, R/I_n)/n^{d−s}等于对A(I_*)中素理想q的求和，其中每一项为lim_{k→∞} e((I_k)_q)/k^{d−s}与e(m_R/q)的乘积。
• 对于半群值数φ(n) = |S^R(ω) ∩ (0,n)|，极限lim_{n→∞} φ(n)/n^d存在，回答了关于局部环中赋值增长的问题。
• 对于具有代数闭剩余域的正则或解析非分歧局部域上的零维秩1赋值ω，极限lim_{n→∞} φ(n)/n^d存在且为正。