[论文解读] Multiplicity one theorems for Fourier-Jacobi models

Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文在 p 进域上建立了对称群与挠群上的傅里叶-雅可比模型的重数一定理，证明了对任意非平凡不可约适定光滑表示 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(2n)$ 与光滑振子表示 $\omega_\psi$ 的张量积，作为 $\mathrm{Sp}(2n)$ 的光滑表示是重数自由的。该结果推广至一般线性群与酉群，证实了普拉萨德的猜想，并为傅里叶-雅可比模型提供了基础性的唯一性结果，这对通过朗克-塞尔伯格方法研究 L-函数至关重要。

ABSTRACT

For every genuine irreducible admissible smooth representation $π$ of the metaplectic group $\widetilde{\Sp}(2n)$ over a p-adic field, and every smooth oscillator representation $ω_ψ$ of $\widetilde{\Sp}(2n)$, we prove that the tensor product $π\otimes ω_ψ$ is multiplicity free as a smooth representation of the symplectic group $\Sp(2n)$. Similar results are proved for general linear groups and unitary groups.

研究动机与目标

• 在 p 进域上建立对称群上傅里叶-雅可比模型的重数一性定理，将格罗斯-普拉萨德猜想推广至斜埃尔米特情形。
• 证明任意非平凡不可约适定光滑表示 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(2n)$ 与光滑振子表示 $\omega_\psi$ 的张量积作为 $\mathrm{Sp}(2n)$ 的表示是重数自由的。
• 将结果推广至一般线性群与酉群，证实普拉萨德关于辛群的长期猜想。
• 通过使用交换对合代数与 $\epsilon$-埃尔米特模的统一框架，处理斜埃尔米特情形。

提出的方法

• 引入一个一般框架，使用 p 进域 $\mathrm{k}$ 上的交换对合代数，配备一个对合 $\tau$，以参数化斜埃尔米特情形。
• 定义此类代数上的 $\epsilon$-埃尔米特模 $E$，并构造雅可比群 $\mathrm{J}(E)$ 为半直积 $\mathrm{U}(E) \ltimes \mathrm{H}(E)$，其中 $\mathrm{H}(E)$ 是一类 Heisenberg 型的幂零根。
• 应用波前集理论与分布上的傅里叶分析，分析不变泛函的支集与光滑性性质。
• 使用波前集判别准则：若分布 $T$ 支集于闭集 $X$ 上，且 $x \in X$ 为正则点，则 $\mathrm{WF}_x(T)$ 在余法丛 $\mathrm{N}_x^*(X)$ 的平移下不变。
• 采用一个关键引理：若 $T$ 的傅里叶变换支集于零点集 $Z_f$，且 $f_d$ 在邻域 $V$ 内无零点，则对充分大的 $|\lambda|$，有 $Z_f + V_1$ 避免 $\lambda V$，从而推出光滑性。
• 应用波前集不变性与支集分析，证明 $\dim \mathrm{Hom}_{G}(\pi' \otimes \omega_\psi \otimes \pi, \mathbb{C}) \leq 1$，从而确立重数一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平凡不可约适定光滑表示 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(2n)$ 与光滑振子表示 $\omega_\psi$ 的张量积作为 $\mathrm{Sp}(2n)$ 的表示是否为重数自由？
• RQ2 在斜埃尔米特情形下，傅里叶-雅可比模型在 $\mathrm{GL}(n)$、$\mathrm{U}(n)$ 与 $\mathrm{Sp}(2n)$ 上的重数一性质是否成立？
• RQ3 能否通过统一的代数-几何框架，在经典群中统一建立傅里叶-雅可比模型的唯一性？
• RQ4 波前集与傅里叶分析在自守形式背景下证明泛函唯一性的角色是什么？

主要发现

• 对任意非平凡不可约适定光滑表示 $\pi$ 与 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(2n)$ 和任意光滑振子表示 $\omega_\psi$，作为 $\mathrm{Sp}(2n)$ 的光滑表示，$\pi \otimes \omega_\psi$ 是重数自由的。
• 该结果可推广至 $\mathrm{GL}(n)$ 与 $\mathrm{U}(n)$，证实对 $G = \mathrm{GL}(n), \mathrm{U}(n), \mathrm{Sp}(2n)$，有 $\dim \mathrm{Hom}_G(\pi' \otimes \omega_\psi \otimes \pi, \mathbb{C}) \leq 1$。
• 证明依赖于波前集理论，以及定义多项式 $f_d$ 的齐次分量在傅里叶变换支集中的非零性。
• 若分布 $T$ 的傅里叶变换支集于 $Z_f$，则波前集 $\mathrm{WF}_x(T)$ 包含于 $f_d$ 的零点集，若 $f_d$ 在某邻域内无零点，则导致矛盾。
• 关键技术步骤是证明：当 $f_d$ 在 $V$ 内无零点时，有 $\widehat{1_U T}$ 在 $\lambda V$ 上对充分大的 $|\lambda|$ 恒为零，从而推出 $x$ 处的光滑性。
• 重数一性由如下事实推出：若 $0 \in \mathrm{WF}_x(T)$，则 $\mathrm{N}_x^*(X) \subset \mathrm{WF}_x(T)$，但若 $\mathrm{N}_x^*(X)$ 避开 $f_d$ 的零点集，则导致矛盾。