[论文解读] Multiplicity results for $(p,\, q)$ fractional elliptic equations involving critical nonlinearities

Mousomi Bhakta, Debangana Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Nonlinear Partial Differential EquationsMathematics被引用 21

一句话总结

本文利用变分法，证明了在有界区域中，一类具有凹-临界非线性的$(p,q)$分数阶椭圆方程存在无穷多组非平凡解。对于凸-临界非线性情形，通过集中紧致性方法与临界点理论，证明了至少存在$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$个非负解。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of infinitely many nontrivial solutions for the class of $(p,\, q)$ fractional elliptic equations involving concave-critical nonlinearities in bounded domains in $\mathbb{R}^N$. Further, when the nonlinearity is of convex-critical type, we establish the multiplicity of nonnegative solutions using variational methods. In particular, we show the existence of at least $cat_Ω(Ω)$ nonnegative solutions.

研究动机与目标

• 建立有界区域中具有凹-临界非线性的$(p,q)$分数阶椭圆方程存在无穷多组非平凡解的理论。
• 证明当非线性项为凸-临界型时，存在多组非负解。
• 将变分法推广至有界区域中的非局部$(p,q)$分数阶拉普拉斯算子情形。
• 应用集中紧致性原理与临界点理论，克服分数阶Sobolev嵌入中的紧致性缺失问题。
• 将解的多重性与区域$\Omega$的拓扑范畴$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$相联系。

提出的方法

• 利用分数阶Sobolev空间$X_{0,s_1,p}(\Omega)$及其包含非局部Gagliardo半范数的相应范数。
• 应用集中紧致性原理，处理$X_{0,s_1,p}(\Omega)$到$L^{p^*_{s_1}}(\Omega)$嵌入中的紧致性缺失问题。
• 通过分析方程对应的能量泛函，并在临界阈值以下证明(PS)条件，应用变分法。
• 利用Krasnoselskii亏格与形变引理，建立多组临界点的存在性。
• 应用山路引理与形变论证，定位能量泛函的临界点。
• 依赖于拓扑工具如范畴$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$，以估计解的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在有界区域中，具有凹-临界非线性的$(p,q)$分数阶椭圆方程存在无穷多组非平凡解？
• RQ2 当非线性项为凸-临界型时，其非负解的精确数量是多少？
• RQ3 区域$\Omega$的拓扑结构如何影响$(p,q)$分数阶椭圆问题解的数量？
• RQ4 集中紧致性方法能否被适配到非局部$(p,q)$分数阶设定中，以恢复紧致性？
• RQ5 分数阶拉普拉斯算子$(-\Delta)^{s_1}_p$与$(-\Delta)^{s_2}_q$在确保解的多重性中起什么作用？

主要发现

• 当非线性项为凹-临界型时，方程$(P_{\theta,\lambda})$存在无穷多组非平凡解。
• 对于凸-临界非线性项，方程至少存在$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$个非负解。
• 能量泛函在临界值$\frac{s_1}{N}(S_{s_1,p})^{N/(s_1 p)}$以下满足(PS)条件，从而可应用临界点理论。
• 多组解的存在性与区域$\Omega$的拓扑范畴相关联，解的数量下界由$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$给出。
• 集中紧致性方法成功控制了分数阶Sobolev嵌入$X_{0,s_1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{p^*_{s_1}}(\Omega)$中的紧致性缺失问题。
• 证明依赖于构造形变收缩与使用奇映射，将子水平集的范畴与临界点数量关联起来。