[论文解读] Nakai-Moishezon criterions for complex Hessian equations

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 12

一句话总结

本文通过将解析正性条件与拓扑交数联系起来，建立了紧致凯勒流形上复赫essian J-方程可解性的奈凯-莫伊舍宗型准则。证明了莱吉米-舍凯利哈迪的猜想：J-方程存在解当且仅当某些全纯交数为正，并将此结果应用于构造紧致凯勒流形极小模型上的常标量曲率凯勒度量。

ABSTRACT

The $J$-equation proposed by Donaldson is a complex Hessian quotient equation on Kähler manifolds. The solvability of the $J$-equation is proved by Song-Weinkove to be equivalent to the existence of a subsolution. It is also conjectured by Lejmi-Szekelyhidi to be equivalent to a stability condition in terms of holomorphic intersection numbers as an analogue of the Nakai-Moishezon criterion in algebraic geometry. The conjecture is recently proved by Chen under a stronger uniform stability condition. In this paper, we establish a Nakai-Moishezon type criterion for pairs of Kähler classes on analytic Kähler varieties. As a consequence, we prove Lejmi-Szekelyhidi's original conjecture for the $J$-equation. We also apply such a criterion to obtain a family of constant scalar curvature Kähler metrics on smooth minimal models.

研究动机与目标

• 在解析凯勒簇上建立J-方程的奈凯-莫伊舍宗型准则，将经典代数几何准则推广至复赫essian方程。
• 证明莱吉米-舍凯利哈迪的猜想：J-方程存在光滑解当且仅当对所有维数 $ m < n $ 的解析子簇 $ Z $，拓扑条件 $ neta^m - meta^{m-1}eta > 0 $ 成立。
• 将该准则应用于构造紧致凯勒流形光滑极小模型上的一族常标量曲率凯勒（cscK）度量。
• 在复赫essian方程的背景下，弥合解析下解条件与拓扑稳定性条件之间的差距。
• 通过相对邻域框架，将下解存在性与拓扑正性之间的等价性推广至奇异解析簇。

提出的方法

• 在嵌入于更大凯勒流形 $ ilde{M} $ 中的解析凯勒簇 $ X $ 上，引入一对凯勒类 $ (eta, eta) $ 的相对奈凯-莫伊舍宗准则，要求在所有分量上满足归一化条件 $ rac{eta^{n-1}eta}{eta^n} o 1 $。
• 证明：在 $ X $ 的邻域上，解析正性条件 $ n ilde{eta}^{n-1} - (n-1) ilde{eta}^{n-2} ilde{eta} > 0 $ 成立，当且仅当对所有维数为 $ m $ 的解析子簇 $ Z \neq X $，拓扑条件 $ ig(neta^m - meta^{m-1}etaig) ig|_Z > 0 $ 成立。
• 采用扰动技术：对 $ eta_ ho = \beta + \rho\theta $，其中 $ \theta $ 为凯勒类，且 $ \rho > 0 $ 足够小，证明 $ \beta_\rho $ 上的正性条件蕴含通过准则存在下解。
• 将准则应用于典范类 $ K_X $，证明若 $ K_X $ 为拟 nef 且 $ \beta^{n-1} \neq 0 $，则通过 J-方程 $ \beta $ 可赋予 cscK 度量。
• 使用极限论证：当 $ \rho \to 0 $ 时，扰动类 $ \beta_\rho $ 满足正性条件，极限给出 J-方程的解。
• 利用引理 8.1，经重新标度后，由不等式 $ (n+\rho)\tilde{\beta}^{n-2} - (n-1)\tilde{\beta}^{n-2} > 0 $ 推出唯一 cscK 度量的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 J-方程的可解性能否通过类似于代数几何中奈凯-莫伊舍宗准则的拓扑条件来刻画？
• RQ2 莱吉米-舍凯利哈迪的猜想——即 J-方程存在解当且仅当对所有维数 $ m < n $ 的解析子簇 $ Z $，有 $ n\beta^m - m\beta^{m-1}\beta > 0 $——是否对一般紧致凯勒流形成立？
• RQ3 奈凯-莫伊舍宗型准则能否推广至奇异解析簇，并在更大凯勒环境中的相对邻域框架下适用？
• RQ4 J-方程下解的存在性是否蕴含极小模型上常标量曲率凯勒度量的存在性？
• RQ5 典范类 $ K_X $ 在通过 J-方程确定 cscK 度量存在性方面起什么作用？

主要发现

• 本文证明了莱吉米-舍凯利哈迪的猜想：J-方程存在唯一光滑解当且仅当对所有维数 $ m \neq n $ 的解析子簇 $ Z $，有 $ \big(n\beta^m - m\beta^{m-1}\beta\big) \big|_Z > 0 $。
• 建立了奈凯-莫伊舍宗型准则：在 $ X $ 的邻域上，解析正性条件 $ n\tilde{\beta}^{n-1} - (n-1)\tilde{\beta}^{n-2}\tilde{\beta} > 0 $ 成立，当且仅当所有子簇上均满足拓扑正性条件。
• 对任意紧致凯勒流形 $ X $ 上的凯勒类 $ \beta $，若 $ K_X $ 为拟 nef 且 $ \beta^{n-1} \neq 0 $，则通过 J-方程可证 $ \beta $ 中存在唯一常标量曲率凯勒度量。
• 当 $ K_X \neq 0 $ 但 $ \beta^{n-1} \neq 0 $ 时，对足够小的 $ \rho > 0 $，扰动类 $ \beta_\rho = \beta + \rho\theta $ 满足正性条件，且当 $ \rho \to 0 $ 时极限给出解。
• 若 $ K_X \neq 0 $ 且 $ \beta^{n-1} = 0 $，则对所有子簇 $ Z $ 有 $ K_X \big|_Z = 0 $，但条件 $ \big(n\beta^m - m\beta^{m-1}\beta\big) \big|_Z > 0 $ 仍成立，从而保证可解性。
• 该准则适用于极小模型：若 $ X $ 为光滑极小模型，$ K_X $ 为拟 nef 且 $ \beta^{n-1} \neq 0 $，则 $ \beta $ 可赋予 cscK 度量。