[论文解读] Natural Stratifications of Reeb Spaces and Higher Morse Functions.
本文通过利用映射 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ 的雅可比集，在 Reeb 空间和高阶 Morse 函数上建立了自然的分层结构，表明在特定条件下，$ X $、$ \mathbb{R}^k $ 和 Reeb 空间上诱导的结构构成分层映射。此外，通过利用奇点集定义子偏序集，该框架进一步扩展至高阶 Morse 函数，实现多参数过滤。
Both Reeb spaces and higher Morse functions induce natural stratifications. In the former, we show that the data of the Jacobi set of a function $f:X o \mathbb{R}^k$ induces stratifications on $X,\mathbb{R}^k$, and the associated Reeb space, and give conditions under which maps between these three spaces are stratified maps. We then extend this type of construction to the codomain of higher Morse functions, using the singular locus to induce a stratification of which sub-posets are equivalent to multi-parameter filtrations.
研究动机与目标
- 理解映射 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ 的雅可比集如何在定义域 $ X $、陪域 $ \mathbb{R}^k $ 和 Reeb 空间上诱导分层结构。
- 识别 $ X $、$ \mathbb{R}^k $ 和 Reeb 空间之间映射为分层映射的条件。
- 通过奇点集将 Reeb 空间的分层框架推广至高阶 Morse 函数。
- 证明由奇点集导出的子偏序集在高阶 Morse 函数设定下对应于多参数过滤。
提出的方法
- 利用光滑映射 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ 的雅可比集在定义域 $ X $ 上定义分层结构。
- 通过从雅可比集提升奇点结构，在陪域 $ \mathbb{R}^k $ 上构造分层结构。
- 将 Reeb 空间定义为 $ X $ 关于 $ f $ 的水平集所诱导等价关系的商空间，并使其与 $ X $ 和 $ \mathbb{R}^k $ 上的分层结构相容。
- 建立 $ X $ 到 Reeb 空间的商映射以及 Reeb 空间到 $ \mathbb{R}^k $ 的映射为分层映射的条件。
- 通过分析函数的奇点集，将构造推广至高阶 Morse 函数，以在陪域上生成分层结构。
- 识别分层陪域中的子偏序集，其与多参数过滤的结构相关。
实验结果
研究问题
- RQ1映射 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ 的雅可比集如何在定义域 $ X $ 上诱导自然分层结构？
- RQ2在何种条件下，从 $ X $、$ \mathbb{R}^k $ 和 Reeb 空间出发的映射为分层映射？
- RQ3用于 Reeb 空间的分层框架能否推广至高阶 Morse 函数？
- RQ4高阶 Morse 函数的奇点集如何在陪域上诱导分层结构？
- RQ5分层陪域的子偏序集与高阶 Morse 理论中的多参数过滤之间存在何种关系？
主要发现
- 映射 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ 的雅可比集在定义域 $ X $ 上自然诱导出与光滑结构相容的分层结构。
- 陪域 $ \mathbb{R}^k $ 通过 $ f $ 作用于雅可比集的像继承了分层结构，形成一个分层子空间。
- Reeb 空间通过 $ X $ 的商结构继承了分层结构，且在适当的横截性条件下，商映射成为分层映射。
- 当 $ f $ 的奇点满足特定正则性条件时，从 Reeb 空间到 $ \mathbb{R}^k $ 的映射为分层映射。
- 高阶 Morse 函数的奇点集在陪域上诱导出分层结构，从而可定义多参数过滤。
- 由奇点集导出的分层陪域的子偏序集被证明在高阶 Morse 函数设定下等价于多参数过滤。
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