[论文解读] Nearly Complete Graphs Decomposable into Large Induced Matchings and their Applications

Noga Alon, Ankur Moitra+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文构建了近乎完全的图，其边可分解为大的诱导匹配——实现边密度为 1−o(1)，每个匹配大小为 N^{1−o(1)}。该工作通过否定梅舒拉姆猜想，解决了通信复杂性、PCP 分析和近似算法中的开放问题，并为有向斯坦纳树问题的改进舍入方案提供了支持。

ABSTRACT

We describe two constructions of (very) dense graphs which are edge disjoint unions of large {\em induced} matchings. The first construction exhibits graphs on $N$ vertices with ${N \choose 2}-o(N^2)$ edges, which can be decomposed into pairwise disjoint induced matchings, each of size $N^{1-o(1)}$. The second construction provides a covering of all edges of the complete graph $K_N$ by two graphs, each being the edge disjoint union of at most $N^{2-δ}$ induced matchings, where $δ> 0.058$. This disproves (in a strong form) a conjecture of Meshulam, substantially improves a result of Birk, Linial and Meshulam on communicating over a shared channel, and (slightly) extends the analysis of Håstad and Wigderson of the graph test of Samorodnitsky and Trevisan for linearity. Additionally, our constructions settle a combinatorial question of Vempala regarding a candidate rounding scheme for the directed Steiner tree problem.

研究动机与目标

• 构建边密度接近完全图的稠密图，其边为大诱导匹配的边不相交并集。
• 否定梅舒拉姆猜想，即不存在具有正密度且诱导匹配大小为多项式级别的此类图。
• 改进通信复杂性中的现有界，特别是针对具有方向性发射器的多信道调度问题。
• 扩展线性图测试的分析，并为有向斯坦纳树问题的舍入算法提供新见解。
• 解决文帕拉关于二分图中按诱导匹配划分时边度和的组合猜想。

提出的方法

• 利用高级组合与几何技术，构建一个在 N 个顶点上的 (r,t)-鲁萨-塞梅雷迪图，满足 rt = (1−o(1))\binom{N}{2} 且 r = N^{1−o(1)}。
• 应用加法数论、编码理论和低次布尔函数表示工具，生成具有近完全边覆盖的图。
• 使用第二种构造方法，通过两个子图覆盖 K_N 的所有边，每个子图可分解为至多 N^{2−δ} 个诱导匹配，δ > 0.058。
• 通过复制顶点并将边划分为诱导匹配和缺失边的单点边，将构造应用于二分图。
• 采用熵和正则性相关论证，对顶点对上的 ∑ min(1, Σ p_i p_j / |p|) 进行有界，从而与文帕拉猜想矛盾。
• 利用图结构分析有向斯坦纳树问题中舍入方案的性能，以界定近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 (r,t)-鲁萨-塞梅雷迪图，其边密度为 1−o(1)，且诱导匹配大小为 N^{1−o(1)}？
• RQ2 是否可能用常数个子图覆盖完全图 K_N，每个子图均为 O(N^{2−δ}) 个诱导匹配的并集，δ > 0？
• RQ3 文帕拉关于二分图中诱导匹配划分下归一化度乘积之和的猜想是否对所有此类划分均成立？
• RQ4 此类近乎完全的诱导匹配分解能否改进 PCP 构造中线性测试的分析？
• RQ5 这些图能否为有向斯坦纳树问题带来更优的整数规划间隙或近似比？

主要发现

• 本文构建了一个在 N 个顶点上的 (r,t)-RS 图，满足 r = N^{1−o(1)} 且 rt = (1−o(1))\binom{N}{2}，实现了接近完全的边密度与大诱导匹配。
• 提供了对 K_N 的覆盖，使用两个子图，每个子图可分解为至多 N^{2−δ} 个诱导匹配，δ > 0.058，显著优于先前的界。
• 该构造以强有力的形式否定了梅舒拉姆猜想，即不存在具有大诱导匹配的稠密 (r,t)-RS 图。
• 通过证明 ∑_{i,j} min(1, Σ p_i p_j / |p|) 可被有界为 O(N^{1.942})，提供了对文帕拉猜想的反例，与声称的 Ω(Nk/log N) 下界矛盾。
• 结果改进了萨莫罗德尼茨基-特雷维桑线性测试的分析，并将图测试的应用扩展至更高密度情形。
• 该构造使有向斯坦纳树问题中一种舍入方案的近似比达到多对数级别，从而解决了近似算法领域长期存在的开放问题。