[论文解读] New bounds for the prime counting function \pi(x)

Christian Axler|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过改进切比雪夫函数 θ(x) 的估计，建立了素数计数函数 π(x) 的更紧致上下界，从而得出关于短区间内素数存在性的新结果：对于所有 x ≥ 58837，区间 (x, x(1 + 1.1817/log³x)] 内存在一个素数。这些界限显著优于杜萨尔特（Dusart）2010 年的估计，并进一步优化了相对宽度为 O(1/log³x) 的区间内素数存在的已知阈值。

ABSTRACT

In this paper we establish a number of new estimates concerning the prime counting function \pi(x), which improve the estimates proved in the literature. As an application, we deduce a new result concerning the existence of prime numbers in small intervals.

研究动机与目标

• 推导出比以往已知结果更紧致的素数计数函数 π(x) 的上下界。
• 通过改进渐近展开式中误差项的估计，提升杜萨尔特（Dusart）2010 年对 π(x) 的估计，特别是针对大 x 的情形。
• 将新界限应用于建立短区间内素数存在的更紧致阈值。
• 为长期存在的素数在小区间内分布问题做出贡献，尤其与斯科特斯数（Skewes number）及 π(x)−li(x) 的符号变化相关。

提出的方法

• 通过利用改进的切比雪夫函数 θ(x) 的误差估计，推导出 π(x) 的新上下界，特别地，对于 x≥e³⁰，有 |θ(x)−x| < 0.35x/log³x。
• 使用积分表达式 π(x) = θ(x)/logx + ∫₂ˣ θ(t)/(t log²t) dt 将 π(x) 与 θ(x) 关联，并通过控制技术推导出界限。
• 引入函数 Jk,ηk,x₁(k)(x) 以利用 θ(x) 的估计来界定 π(x)，其中主界限取 k=3 且 η₃=0.35。
• 通过计算机对离散值 π(pi) 和 δ(pi) 的数值验证，确认在低于 10¹⁴ 的关键区间内界限的有效性。
• 应用一个通用引理（引理 4.1）将 π(x) 的界限转化为区间 (x, c(x)x) 内素数存在的条件，其中 c(x) = 1 + 1.1817/log³x。
• 通过渐近分析与不等式代换（例如 log(1+t) ≤ t）证明：当 x≥e¹⁴²³.⁷²⁸ 时，有 π(c(x)x)−π(x) > 0，并通过计算验证较小范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 目前可获得的、优于杜萨尔特（Dusart）2010 年估计的 π(x) 的最紧致上下界是什么？
• RQ2 能否严格证明：对所有 x ≥ 58837，区间 (x, x(1 + 1.1817/log³x)] 内存在一个素数？
• RQ3 对 θ(x) 的改进误差估计如何转化为 π(x) 的更紧致界限，以及更短的包含至少一个素数的区间？
• RQ4 满足 π(x) > li(x) 的最小 x 是多少？新界限如何改进已知的斯科特斯数（Skewes’ number）的上界？
• RQ5 在使用优化系数的高阶项时，π(x) 的渐近展开式能在多大程度上被进一步精确化？

主要发现

• 本文建立了 π(x) 的新上界：对所有 x > 1，有 π(x) < x/logx + x/log²x + 2x/log³x + 6.35x/log⁴x + 24.35x/log⁵x + 121.75x/log⁶x + 730.5x/log⁷x + 6801.4x/log⁸x。
• 证明了新的下界：当 x ≥ 1,332,450,001 时，有 π(x) > x/logx + x/log²x + 2x/log³x + 5.65x/log⁴x + 23.65x/log⁵x + 118.25x/log⁶x + 709.5x/log⁷x + 4966.5x/log⁸x。
• 新上界在所有 x ≥ e²³.¹¹ 时均优于杜萨尔特（Dusart）2010 年的估计（7），提供了更紧致的渐近逼近。
• 本文证明：对每个 x ≥ 58,837，存在一个素数 p，使得 x < p ≤ x(1 + 1.1817/log³x)，优于特鲁德吉安（Trudgian）2014 年的结果（x ≥ e¹³¹.¹⁶⁸⁷）。
• 证明结合了基于 θ(x) 误差估计的解析界限与在关键区间内对离散值的广泛计算验证。
• 该结果优于卡迪里与伦利（Kadiri and Lumley）2014 年的界限（1 + 1/2,442,159,713），对于 x ≥ e¹⁵⁰，将区间宽度因子从 ~1/2.44×10⁹ 降低至 ~1.1817/log³x。