[论文解读] New Classes of Permutation Binomials and Permutation Trinomials over Finite Fields

Kangquan Li, Longjiang Qu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文利用赫米特准则和特殊方程的解计数，提出了有限域偶特征下若干新的置换二项式与三项式类。主要贡献在于在 $ Rubio^{m} $ 上构造了新颖的、乘法不等价的置换三项式，扩展了已知家族，并为编码理论与密码学应用提供了新工具。

ABSTRACT

Permutation polynomials over finite fields play important roles in finite fields theory. They also have wide applications in many areas of science and engineering such as coding theory, cryptography, combinatorial design, communication theory and so on. Permutation binomials and trinomials attract people's interest due to their simple algebraic form and additional extraordinary properties. In this paper, several new classes of permutation binomials and permutation trinomials are constructed. Some of these permutation polynomials are generalizations of known ones.

研究动机与目标

• 在有限域中，特别是偶特征下，构造新的显式置换二项式与三项式类。
• 扩展已知的具有简单代数形式且具备特殊结构特性的置换多项式列表。
• 确立新构造与先前已知类别的乘法不等价性，确保其代表真正新颖的家族。
• 为编码理论、密码学以及弯函数与半弯函数的构造提供理论基础。

提出的方法

• 应用赫米特准则，通过检查 $f(x)^t \mod (x^q - x)$ 的根数与次数条件，验证置换性质。
• 利用乘法等价关系简化并推广多项式形式，在 $x \mapsto x^d$ 且 $\gcd(d, q-1) = 1$ 下保持置换行为。
• 分析特殊方程如 $x^{2^{k+1}+1} + x = a$ 的解数，推导置换行为的条件。
• 使用卢卡斯公式分析特征为2的域中二项式系数模2的性质。
• 通过代数恒等变形与方程组中的变量代换，推导置换三项式所需条件。
• 利用计算工具（Magma）对小域 $\mathbb{F}_{2^m}$（$4 \leq m \leq 10$）验证乘法不等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域偶特征下，可构造哪些新的置换二项式与三项式类？
• RQ2 如何系统性地应用赫米特准则与特殊方程的解计数来证明置换性质？
• RQ3 新构造的置换三项式是否与所有已知类别均乘法不等价？
• RQ4 这些新多项式能否用于生成高度非线性函数，如弯函数或半弯函数？
• RQ5 在 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上，二项式与三项式的系数与指数满足何种结构条件时，可呈现置换行为？

主要发现

• 构造了五类新的 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的置换三项式，其中两类具有平凡系数，三类具有非平凡系数。
• 定理 4.9、4.10 与 4.11 中的置换三项式被证明与所有已知类别（包括定理 4.5、4.6 与 4.12 中的类别）均乘法不等价。
• 定理 4.10 与 4.11 中构造的置换三项式被证明与文献 [21] 中定理 4.12 的类别乘法不等价。
• 当 $m = 3k$ 且 $k$ 为奇数时，函数 $f(x) = x + x^{2^k+1} + x^{2^{2k}+2^k+1}$ 是 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的置换三项式，扩展了已知家族。
• 不等价性证明依赖于域维数（奇数与偶数）与系数模式的结构性差异，经 Magma 计算在 $4 \leq m \leq 10$ 范围内验证。
• 研究结果为线性与循环码的构造，以及弯函数与半弯函数的生成奠定了基础，如结论与参考文献所述。